A gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev

Davriy funksiyalar. f(x) funksiya X (XaR') to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.

4. 
   ta‘rif. Agar shunday o‘zgarmas 7(7X))son mavjud bo‘lsaki, istalgan x, x+TeX lar uchun
   

f(x+T)=f(x) tenglik o‘rinli bo‘lsa, /(x) davriy funksiya deyiladi, bunda T — funksiyaning davri deb ataladi.

1. 
   shartni qanoatlantiruvchi musbat T laming eng kichigi (agar u mavjud bo‘lsa) funksiyaning asosiy davri deb ataladi.
   

Agary=/(x) funksiya T davrga ega bo‘lsa, u holda nT (neZ) ham funksiyaning davri ba‘iadi.
Agar davriy funksiya T_g — asosiy davrga ega bo‘lsa, u holda qolgan davrlaming hammasi T_o ga karrali bo‘ladi.
Funksiya eng kichik musbat davrga ega bo‘lmasligi ham mumkin. Masalan,/(x)=5 funksiya uchun ixtiyoriy haqiqiy son davr bo'ladi, lekin u asosiy davrga ega emas. Haqiqatan ham, /(x)=const, ixtiyoriy c#0 haqiqiy son bo‘lsin./(x+a)=/(x)=const. Bu yerdan kelib chiqadiki, a davr eng kichik musbat davr emas.

4. 
   ta‘rif. Agar
   

/(x+w)=—/(x), (w*0)
bajarilsa, u holda f(x) antidavriy funksiya deyiladi.
Davriy funksiyalar quyidagi xossalarga ega.
1°. Tdavrga ega bo‘lgan ikkita funksiyaning yig‘indisi, ko‘paytmasi yana davriy funksiya bo‘ladi va uning davri Tga teng bo‘ladi.
2°. Agar T (7^0) son /(x) va g(x) funksiyalaming eng kichik musbat davri bo‘lsa, u f(x)±g(x),f(x)-g(x) uchun eng kichik musbat
' davr bo'lmasligi ham mumkin. Masalan, 1) /(x)=3sin x+2, g(x)=2— —3sin xfunksiyalar eng kichik musbat T=2n davrga ega, lekin ulaming ■ yig'indisi f (x)+g(x)=4 esa eng kichik asosiy davrga ega emas.
2) f (x)=sinx+1, g(x)—1 —sin x funksiyalaming eng kichik mus­bat davri 7= 2л, lekin /(x) g(x)=cos²x= | (l+cos2x) ko‘paytmasi- ning eng kichik musbat davri 7=л bo'ladi.
3°. Agarf (x) funksiya Tdavrga ega bo'lsa, u holdaf (ax'),/ (ax)+b T
funksiyalar т = davrga ega (bunda ixtiyoriy haqiqiy son, x, axe JV bo'ladi.
- 4°. Agar /(x) funksiya T davrga ega bo'lsa, u holda Af(ax+b)
т
(^const, a > 0) ham davriy funksiya bo'ladi va uning davri ga teng bo'ladi.
Misol./(x)=sin 4x funksiyaning davriy funksiya ekanligini I ko'rsating va eng kichik musbat davrini toping.
Yechilishi. Ma'lumki, berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi sonlar o'qidan iboratdir. Faraz qilaylik, biror TA) uchun sin4 (x + 7)=sin4x tenglik o'rinli bo'lsin. Bu yerdan
i 2cos (4x+2 7) sin27=0
tenglamaga ega bo'lamiz. Oxirgi tenglik sin2 7=0 uchun ham o'rinli bo'ladi, u holda 2T—nn, ne Z. Demak, shunday To'zgarmas son mavjudki, berilgan funksiya uchun eng kichik musbat davr T_Q = * bo'ladi.
r Agar istalgan x e X va ba'zi bir T lar uchun /(* + T) =
(7^0) bo'lsa, u holda f(x) funksiya 2Tdavrga ega bo'ladi.
5°. u=q(x) davriy funksiya bo'lsin. Agar /(x) funksiya qat'iy * monoton bo'lsa, u holda у =/[ф(х)] murakkab funksiya ham davriy bo'ladi va ularning davrlari bir-biriga teng bo'ladi.
6°. Agar y=f(u) funksiya qat'iy monoton bo'lmasa, u holda funksiyaning davri м=ф(х) funksiyaning davridan kichik bo'lishi ham mumkin.
Misol. Quyidagi funksiyalarni davriylikka tekshiring:

1. 
   /(x)=x²+x+1; 2) /(x)=x— [x];
   

3) /(x)=sinx²; 4) /(x)=sin⁴x+cos⁴x.
Yechilishi. 1) Faraz qilaylik, /(x)=x²+x+l davriy funksiya bo‘lsin, u holda ta‘rifga ko‘ra shunday o‘zgarmas T son mavjud bo‘lib, (x+7)²+(x+7)+l=x²+x²+l tenglik o‘rinlidir. Oxirgi tenglikni T ga nisbatan yechib, T ni topamiz: х^!+2х7’+Г+х+7’+1=х²+х+1, 7²+(2х+1)Г=0, Г-0 T=-2x-\.
Shartga ko‘ra olingan va T₂ ning qiymatlari davriy funksiyaning ta‘rifini qanoatlantirmaydi (T noldan farqli va o‘zgarmas boiishi, ya‘ni xga bog‘liq bo‘lmasligi kerak edi). Demak, berilgan funksiya davriy funksiya emas.

2. 
   Ma‘lumki,/(x)=[x] butun funksiya barcha TeZlar uchun [x+ 7]=[x]+ T tenglikni qanoatlantiradi. Ta*rifbo‘yicha tekshiramiz:
   

f (x+ T)=x+ T— [x+ 7]=x+ T— [x] — T=x—[x]=f (x).
Demak, berilgan funksiya davriy funksiya bo*lib, uning kichik musbat davri 7=1 ekan (3.3- chizma).

3.3- chizma.

3. 
   Faraz qilaylik,/(x)=sinx² davriy funksiya bo‘lsin, u holda shunday o‘zgarmas TfT^O) son mavjud bo'lib, sinx²=sin(x+T)² tenglik o‘rinli bo'ladi. x=0 bo*lsa, u holda 0=sin7² tenglikka ega bo'lamiz. Bu yerdan T²=nn(neZ), yoki Т ⁼ 4пя . T ning qiymatini sinx² =sin(x + 7)² tenglikka qo‘yamiz:
   

sin x² = sin(x + y/nm )² = sin(x² + 2x7^ + ли) •
2kn-/m
^X * 2y/nn ’ bo*lsin, u holda 2x^1 пп + лпф 2кп. Demak, sin x² Ф sin(x² + 2x4nn + nn).
Qarama-qarshilikka keldik. Bu esa f (x)=sinx² funksiyaning davriy emasligini isbotlaydi.
Bundan tashqari, bu funksiyaning davriy emasligini quyidagi mulohazadan ham ko‘rish mumkin (3.4- chizma).


3.4- chizma.
Grafik bilan abssissalar o‘qining kesishishidan hosil bo‘lgan o‘zaro qo‘shni nuqtalar orasidagi masofalar ketma-ketligining limiti (chekli) nolga teng bo'ladi:
lim J(n + 1)л - y/nn = lim ⁷¹ = 0.
n^L' J ^(и+1)л+7итг

4. 
   Berilgan funksiyani quyidagicha shakl almashtiramiz:
   

у = (sin²x + cos²x)² - 2sin²x ■ cos²x = (3 + cos4x).
y!=cos4x funksiyaning davri 4°- xossaga asosan T_o = ” bo‘ladi.
Demak, berilgan funksiyaning asosiy davri ham T_o = * ga tengdir.

3.