A gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev

Murakkab funksiyalar. /va g funksiyalar mos ravishda Xva / to'plamlarda berilgan bo‘lib, /funksiyaning qiymatlar to‘plami E(f)=Y, g funksiyaning qiymatlar to‘plami E(g)=Z va Yc/ (f funksiyaning qiymatlar to‘plami g funksiyaning aniqlanish sohasida yotsin) shart bajarilganda X to‘plamda F=g(f{xY)=h(x) {F—^y), y=f (x)) murakkab funksiya yoki g va f funksiyalar kompozitsiyasi aniqlangan deyiladi va u z=g/kabi belgilanadi (3.21, 3.22- chizmalar). Demak, Vxe X uchun f funksiya yordamida bitta ye Y mos qo'yiladi, so'ngra Vy e Y uchun g funksiya yordamida bitta z^Z mos qo'yiladi. Shunday qilib, z^g(f(x)) funksiyaning aniqlanish sohasi /(x)ning aniqlanish sohasiga ustma-ust tushadi

22. 
    
    3.21- chizma.
    chizma.
    
23. 
    yoki uning qismi bo‘ladi. Bunda f funksiyaning qiymatlar sohasi g funksiyaning aniqlanish sohasida yotishi muhim, aks holda gN&f funksiyalarning kompozitsiyasi aniqlanmaydi.
    

1. 
   misol. z =cos у va y=x³ funksiyalardan murakkab funksiya tuzish mumkinmi?
   

Yechilishi. z =cos у va y=x⁵ funksiyalarning mos ravishda D(z), E(y) sohalarini topamiz: Z)(z)=R, E{y)=R\ E(y)=D(z) bo‘lgani uchun yuqoridagi murakkab funksiya hosil bolishlik shartiga ko‘ra bu funksiyalardan murakkab funksiya tuzish mumkin: ^cosx³. Bu murakkab funksiyaning aniqlanish sohasi ham R dan iborat.
2-misol. у =u² va и =sin x funksiyalardan murakkab funksiya tuzish mumkinmi?
Yechilishi. Funksiya ta‘rifiga ko‘ra
F: u^y=u²,
x ni yozsak, u holda
D(q>y=R, Е(ф)=[-1;1], D(F)=R, £(F)=[0;+~)
bo‘ladi. Shunday qilib, E((p)<^D(Fy Demak, berilgan funksiyalardan y=sin²x murakkab funksiyani tuzish mumkin (3.23- chizma).
3-misol. у = va w=cos x—2 funksiyalardan murakkab funk­siya tuzish mumkinmi?
Yechilishi. Berilgan funksiyalarning aniqlanish va qiymatlar sohalarini topamiz:
D(u)=R, ВД=[-3;-1],
D(y)=[0;+«>), £'(y)=[0;+oo).

W=SinA

^=sin²x

22. 
    chizma.
    

E(u) bo‘lgani uchun у = Ju va w=cos x—2 fiinksiyalardan murakkab funksiya tuzish mumkin emas, ya‘ni у = д/cos x — 2 formula biror funksiyani aniqlamaydi.

4. 
   misol. z=Jy+\ va y=2^x fiinksiyalardan murakkab funksiya tuzish mumkinmi?
   

Yechilishi. Berilgan funksiyalaming aniqlanish va qiymatlar sohalarini topamiz:
D(y)=R, £(y)=(0;+oo),
Дг)=[-1;+~), ад=[0;+о°).
Murakkab funksiya shartiga ko‘ra E(y)cD(z). Demak, berilgan fiinksiyalardan _z = ^2^X +1 murakkab funksiyani tuzish mumkin.

4. 
   misol. f(x)=x* va g{x)=5^x funksiyalar berilgan. f{f{x)), g(f(x)), g(g(x)) funksiyalami toping.
   

Yechilishi. Funksiyalaming berilishiga ko‘ra:
f(f(x))=f(x*)=(^^ f(g(x))=f(5x)=5^ g(/(x))=g(xt)=5j g (g(x))=g(5^x)=5^5X
bo‘ladi va ular o‘z navbatida murakkab funksiyalar bo‘ladi, chunki E(f)cd)(f), E^czDff), Eff)^), Elg)^.

4. 
   misol. f{x)=2^x va f\x)=\og^ funksiyalaming /(/ ’(*))> / ¹ (f{x)) kompozitsiyalarini toping.
   

Yechilishi. Teskari funksiyaning ta'rifiga ko‘ra:
f^\x^ = 2^f{x)=2^}o^^x =x;
/^-1 (/(*)) = log? /(^) = log2 2^х = x log₂ 2 = x.
Mustaqil yechish uchun misollar.
Funksiyalaming qaysi biri juft, qaysi biri toq va qaysilari juft ham, yoki toq ham emasligini aniqlang:

FUNKSIYALAR VA GRAFIKLAR 3
³ > f=-^= 31

sin X
Funksiyalarni davriylikka tekshiring. Agar davriy bo‘lsa, u holda uning eng kichik musbat davrini toping:

19. 
    /(x) = x² - 3x + 4. 20. /(x) = sin 2x - 2tg *.
    

21. f (x) = sin x . 22. /(x) = cos2x • cos6x.

23.

/(x) =
1, agar x ratsional son bo’lsa,
0, agar x irratsional son bo’lsa.
24. /(x) = 6sin (0,25лх). 25. /(x) = cosP x -18°

26. 
    /(*) = 7sin*-2cos^x+"j.27. /(x) = sin™ + tg™.
    

28./(x) = cos 7tx + sin 2x. 29. f (x) = tg2x + ctg3x + cos 5x.

30. 
    /(x) = sin(* + ?) + 5tg 3x-" ^{4 7} z z I о
    
31. 
    f (x) = tg з + sin 2nx.
    
32. 
    /(x) = 13 sin² 3x. 33. /(x) = cosx-cosV3x.
    

Funksiyalarni o‘z aniqlanish sohalarida chegaralanganlikka tekshiring:

34. 
    у = , x e [0; 5]. 35. у = x² - Юх 4- 25.
    

36. 
    у = . I . 37. у = lg(x²-4x + 3). 38. у = sin5x \ ' x⁴+l
    

FUNKSIYALAR VA GRAFIKLAR 3
³ > f=-^= 31

46. 
    у = * 47. у = arcsin Д . 48. у = ^2-x-x².
    

e -1 4+x^{2 z v}

49. 
    У = 7x² -4x + 5 50. у = 2*²-²-².
    

Funksiyalarni o‘zlarining aniqlanish sohalarida monotonlikka tekshiring:

51. 
    У = Л, x*l. 52. У = lg(x²-6x + 10).
    

H.y^.H.y^". 55.y = log_0i£₁.

1. 
   -
   

56. 
    у = x - x. 57. У = _x 58. У = e.^x
    

e^x-l
59. у = ^/(1 - x)².

2x, у = 0,
2x,