A gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev

misol./(x)=ax²+/>x+c funksiyaning o‘zgarish sohasini toping.

Yechilishi. Berilgan funksiyani
( b V 4ac—b²
У = a x + — + —
I 2a I 4я
ko'rinishda ifodalaymiz.
Agar a>0 (o<0) bo‘lsa, berilgan funksiya x = — nuqtada eng kichik (eng katta) qiymatiga erishadi, ammo eng katta (kichik) qiymatiga ega bo‘lmaydi.
Demak, a > 0 (a < 0) bo‘lganda berilgan funksiyaning o‘zgarish






sohasi
boiadi.

W) =

4ac-b²
4a

4ac-b²
4a

dan iborat

3. 
   misol. f(x) = yx² — 2x + 5 funksiyaning o‘zgarish sohasini toping.
   

Yechilishi. a = 1 > 0 va f(x) = \]x² — 2x + 5 = ^/(x — I)² + 4 funksiya x=l nuqtada eng kichik qiymatga ega bo'ladi: y(l) = = 2.
Demak, berilgan funksiyaning o‘zgarish sohasi Е(У)=[2;+оо) dan iborat bo‘ladi.

4. 
   . Agar y=f(x) funksiya berilgan boiib, uni x ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa, ya‘ni x=q>(y) ko'rinishda yozish mumkin bo'lsa, y—f(x) funksiyaning o'zgarish sohasini topish uchun x=
   x=y(y) funksiyaning aniqlanish sohasi y—f(x) funksiyaning o'zgarish sohasidan iborat bo'ladi: D(^)=E(f).
   

4-misol./(x)=x²—6x+5 funksiyaning o'zgarish sohasini toping.
Yechilishi. x²—6x+5—у =0 tenglamani x ga nisbatan yechamiz:
*1.2 = 3 ± -Jу+ 4.
Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi haqiqiy sonlar to'plamida bo'lishi uchun tenglamaning diskriminanti y+4>0, ya’ni y>—4 bo'lishi kerak. Demak, berilgan funksiyaning o'zgarish sohasi E(f)=[—4;+°°) bo'ladi.
4°. Umumiy holda, y=f(x) funksiyaning o'zgarish sohasi a0), y=(p(x) funksiyaning o'zgarish sohasi esa c0) bo'lganda /(x)+
a+c kabi aniqlash, /(х)ф(х) funksiyaning o‘zgarrish sohasini esa ас < у < bd kabi aniqlash mumkin emas.
Haqiqatan ham, sin x va cos x laming o‘zgarish sohalari — 1 < у <1 bo‘lgani holda sinx+cosx ning o'zgarish sohasini —1—1 11+1 yoki —2 kabi aniqlab bo‘lmaydi.

5. 
   misol./ (x)=sinx+cosx funksiyaning o‘zgarish sohasini toping.
   

Yechilishi. Berilgan funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozsish mumkin:

FUNKSIYALAR VA GRAFIKLAR 3
³ > f=-^= 31

MaMumki, — 1 < cosl x — d< 1, bu yerdan,


bo‘lgani uchun, funksiyaning o'zgarish sohasi E(f) = — ^2; \X2 bo‘ladi.

5. 
   misol. /(x)=0,5 sinx cosx funksiyaning o‘zgarish sohassini toping.
   

Yechilishi./(x)=0,5 sinxcosx=0,25 sin 2x. Malumki, —1 < sin 2x 1. Bundan — 0,25 < 0,25sin 2x<0,25 yoki —0,25 0,25, derruak, berilgan funksiyaning o'zgarish sohasi £’(/’)=[—0,25; 0,25] bo‘laadi.
5°. Agar у=Дх) funksiyaning o‘zgarish sohasi a bo‘ Isa, g(x)—mf(x) funksiyaning o‘zgarish sohasi, m>Q bo'lgamda ma zn<0 bo‘lganda esa ma>g>mb bo‘ladi.
Agar у=Дх) funksiyaning o'zgarish sohasi a bo‘B.sa, g(x)=n+f(x) funksiyaning o‘zgarish sohasi n+a dan iborat bo‘ladi.

5. 
   misol. /(x)=2(cosx—1) funksiyaning o^uzgarish sohasini toping.
   

Yechilishi. Berilgan funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozzish mumkin:
/(x)=2cosx—2, bunda m=2>0, n ——2<0. Ma‘lumki, —1 < cosx < 1 bo‘lgani uchun —2 < 2cosx< 2 va —2—2 < 2cosx—2 < 2—2 bo‘l^di. Oxirgi tengsizlikni quyidagi —4 < 2cosx—2 < 0 ko‘rinishnda yozish mumkin. Demak, berilgan funksiyaning o‘zgarish sohtasi ДЛ=[-4;0] bo‘ladi.

5. 
   misol. /(x)=3—4 cosx funksiyaning o'zgarish sohasini toping.
   

Yechilishi. Yuqoridagi tasdiqqa ko‘ra, f (x)=cosx, m-—4, n=3 bo‘ladi. Ma‘lumki, — 1 < cosx< 1 bo‘lgani uchun —4 < — 4cosx< 4 va 3—4 <3—4 cosx <4+3 bo‘ladi. U holda — 1 < 3—4cosx< 7. Demak, berilgan funksiyaning o‘zgarish sohasi £(/)=[— 1; 7] bo‘ladi.
6°. Agar y=f(x) funksiyaning o‘zgarish sohasi — a(-« < у < +oo) bo‘lsa, u holda y, =|/(x)| yoki y₂=/¹(x) funksiyaning o‘zgarish sohasi 0 < у, < a yoki 0 < у < +°o bo‘ladi. Masalan, y=cosx ning o‘zgarish sohasi — 1 ₂=cos²x funksiyaning o‘zgarish sohasi bir xil, ya‘ni 0 < y, < 1 bo'ladi. y=tgx ning o‘zgarish sohasi -«> < у < +©o bo‘lgani holda, y,⁼|tgx| yoki y₂(x)=tg²x funksiyaning o‘zgarish sohasi bir xil, ya‘ni 0 < у < +oo bo‘ladi.
5. Funksiya grafigining koordinatalar tekisligida joylashishi. Funksiyaning aniqlanish sohasi bilan o‘zgarish sohasi topilgandan so‘ng, uning grafigi Dekart koordinatalar tekisligining qaysi qismida joylashishini aniqlash mumkin.
1- misol. y—arcsinx funksiyaning grafigi koordinatalar tekisligining qaysi qismida joylashishini aniqlang.

2.5- chizma.
Yechilishi. Ma‘lumki, funksiyaning aniqlanish va o‘zgarish sohalari mos ravishda —1 < x< 1 va — у < * dan iborat bo‘ladi. Dekart koordinatalar tekisligida funksiyaning grafigi D={(x,y): — 1 2.4- chizma.
YechiJishi. a) funksiyaning aniqlanish sohasi ta‘rifiga ko‘ra: x²—4 ф 0 yoki x * ± 2 bo‘ladi. Funksiyaning aniqlanish sohasi uchta intervallar yig‘indisidan iborat 2)u(—2;2)u(2;+°°).
4
b) funksiyaning o'zgarish sohasini topish uchun У = *_{2 4}
tenglikni x ga nisbatan yechamiz: x = +2 у ifoda
V У N -^v
ma‘noga ega bo‘lishi uchun, birinchidan, y/0, ikkinchidan ' °
>
yoki (y+l)y > 0 bo‘ladi. Bu tengsizlikning yechimlari to‘plamiy< — 1 va у > 0 bo'ladi. Ushbu shartlardan funksiyaning o‘zgarish sohasi £(/)=(—oo;—l]u(0;+°°) bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak, berilgan funksiyaning grafigi Dekart koordinatalar tekisligining G={(x,y);—°°2, —2
Mustaqil yechish uchun misoliar
Funksiyalarning aniqlanish sohalarini toping:
1./W= У i-fw = '
Jx²-4x.
3.f(x) = lg(l — lg(x² — 5x + 16)). 4. /(x) = arcsin(5x — 6).
5. f - Igx . 6. /(x) = ^x -8. 7. /(x) = x^^x .

8. 
   f(x) = д/cosx. 9. f(x) = д/sinx +cosx.
   

10. 
    /(x) = (3x)! 11. /(x) = log₂ log_1/2 ^4x-x²-2.
    

12. 
    /(x) = log₂ log₃ ^4x — 4x². 13. /(x) = ^drc^cos*
    

In x+
2

14. 
    /(X) =
    

1
Jio-x

14. 
    /(x) = jPp +
    

14. 
    /(x) = log,-! [ X - 4
    

17. 
    f(x) = ,Jtgx+T. ¹⁸‘ ^{= log}x^{2 (4} ~ ^x)'
    

19. 
    f(x) = — log_{0 5} ^cos *, ^{x e} [О;2л].
    

i 3 v

19. 
    к ning qanday qiymatlarida f(x) = , ' funksiyaning
    

x +kx+4
aniqlanish sohasi (-°°; 2KX2;+°°) bo'ladi?

19. 
    [—10; 10] oraliqdagi nechta butun son
    

f(x)^2^cosxjx³ sin²^^-^x
funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli?
Funksiyalarning o‘zgarish sohalarini toping.

19. 
    f(x) = . 23. f(x) = ₂^₃ . 24. f(x) = ctgx • tgx.
    

25. f(x) = 3sin x + 4 cos x. 26. f(x) = x² + x — 2.
27. f (x) = 2K 28. f (x) = arcsin ^4 —x².
1