«amaliy matematika va informatika» kafedrasi «Hisoblash usullari» fanidan kurs ishi

II BOB.O`ZGARMAS VA O`ZGARUVCHAN KOEFFITSIENTLI TENGLAMALARNI YECHISH

2.1 O`zgaruvchan koeffitsientli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasini yechish.
Koeffitsientlari o`zgaruvchan bo`lgan quyidagi issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraylik:

(1)
bunda , , yetarlicha silliq funksiyalar bo`lib
(2)
shartlarni qanoatlantirsin.Har bir belgilangan uchun nuqtada differensial ifodani
(3)
Ayirmali nisbat bilan apraksimatsiya qilamiz. Bunda koeffitsient balans metodidagidek ikkinchi tartibli aproksimatsiya shartlarini qanoatlantirishi kerak:
(4)
Balans metodida ko`rganimizdek ni quyidagi


Formulalarning birortasi bilan hisoblasak (4) munosabatlar o`rinli bo`ladi.Shunday qilib (1) differensial tenglamaga ushbu vazniy ayirmali masala mos keladi:
(5)
Bunda va bo`lsa, u holda (5) sxema aproksimatsiyasining xatoligi bo`lib, bo`lganda bo`ladi.Shunday qilib, biz oshkormas sxemaga ega bo`ldik. Bu sistemani yechish uchun haydash metodini qo`llash mumkin. Ayirmali sxemaning turg`unligini tekshirishda, oldingi bandlarga qaraganimizdan tashqari, koeffitsientlarni muzlatish prinsipi ham ishlatiladi.Bu prinsip o`zgaruvchan koeffitsientli masalani o`zgarmas koeffitsientli masalaga keltiradi.Misol uchun (5) sxemada va deb olib, quyidagi oshkor sxemani qaraymiz:
. (6)
Faraz qilaylik, , koeffitsientlar o`zgarmas bo`lsin, ya`ni
. U holda (6) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

yoki
.
Ma`lumki bu oshkor sxema bo`lganda ya`ni
(7)
bo`lganda turg`un bo`ladi.
Koeffitsientlarni muzlatish prinsipi shuni tasdiqlaydiki, agar barcha va lar uchun
(8)
tengsizlik bajarilsa , u holda (6) sxema turg`un bo`ladi. Agar munosabatlar ma`lum bo`lsa u holda

bajarilganda (8) tengsizlik o`rinli bo`ladi. (6) sxemaning turg`unligi qat`iy ravishda asoslashimiz mumkin.
Agar bo`lsa u holda koeffitsientlarni muzlatish prinsipidan (4) sxemaning absolyut turg`unligi kelib chiqadi.

2.2.Chiziqli bo`lmagan issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasini yechish

Quyidagi chegaraviy masalani qaraymiz:

(9)

Odatda, chiziqli bo`lmagan tenglamalarda funksiyaning o`zgarish sohasi oldindan ma`lum bo`lmasa, oshkor sxemalar ishlatilmaydi. Sof oshkormas sxema noma`lumlarga nisbatan chiziqli sistemani ham, chiziqli bo`lmagan sistemani ham tashkil etishi mumkin. Ushbu sxema
(10)
da deb olsak, u holda noma`lumlarga nisbatan chiziqli , absolyut turg`un bo`lib, aproksimatsiya xatoligi bo`ladi. bu sistemaning yechimi haydash metodi bilan topiladi.Ko`pincha (1) tenglama uchun ushbu
(11)

Sof oshkormas sxema ishlatiladi.Bu sxemani qo`llash uchun u yoki bu iteratsion metod qo`llaniladi. Masalan, iteratsion jarayonni quyidagicha olib borishimiz mumkin:

(12)
bu yerda -iteratsiya nomeri.Bu iteratsion jarayondan ko`ramizki, chiziqli bo`lmagan koeffitsientlar oldingi iteratsiyada, ya`ni da hisoblanadi, ning datlabki yaqinlashishi sifatida olinadi. Agar qadam qancha kichik bo`lsa, datlabki yaqinlashish shuncha yaxshi bo`ladi. Agar koeffitsientlar silliq bo`lib, shart bajarilsa, odatda, ikkita-uchta iteratsiya qoniqarli natijaga olib keladi. Har bir yangi iteratsiyada ning qiymatlari (12) sistemadan haydash metodi bilan aniqlanadi. Shuningdek, (12) sistemani yechish uchun ikkinchi tartibli aniqlikka ega bo`lgan predictor_korrektor sxemasi ham ishlatiladi. Bunda -qatlamdan qatlamga o`tish ikki bosqichda bajariladi. Birinchi bosqichda haydash metodi bilan oshkormas chiziqli sistema


yechilib orasidagi qiymatlar topiladi. Ikkinchi bosqichda esa chiziqli bo`lmagan koeffitsientlar da hisoblanib, larni topish quyifagi olti nuqtali simmetrik sxema


asosida olib boriladi.