«amaliy matematika va informatika» kafedrasi «Hisoblash usullari» fanidan kurs ishi

Teorema (maksimum prinsipi). Faraz qilaylik, larda berilgan qandaydir miqdorlar va shart o’rinli bo`lsin . U holda lar da musbat maksimumga ega bo`la olmaydi. Agar shar da o ‘rinli b o isa, unda lar da manfiy minimumga ega bo`la olmaydi.
Isbot. Teoremaning birinchi ta ‘kidining isbotini keltiramiz. shart da o ‘rinli b o isin , ya’ni lar to ‘plamda musbat maksimumga erishmasligini k o ‘rsatish kerak. Teskarisini faraz qilamiz, y a’ni „ uchun b o isin . Bu nuqta shundayki, to’rtta qo’shni nuqtalarining kamida birortasida funksiyaning qiymati M dan qat`Iyana kichik. Unda
bo`ladi chunki musbat va g u < 0 edi. Bu zidlik teoremani isbotlaydi. Teoremaning ikkinchi ta ‘kidi shu kabi isbotlanadi.Isbotlangan teoremaga ko`ra, to ‘rda aniqlangan Teorema. Agar g (x,y ) da musbat bo`lmasa,
lar musbat bo`lsa, u holda (3), (4) tenglamalar sistemasi yechimga ega va yechim yagonadir.
Isbot. (5) tenglamalar sistemasi trivial yechimga egaligini k o ‘rsatish kifoyadir, ya’ni barcha . bo`lganligi uchun 1-teoremaning ikkala sharti s yoki bajarilgan deyishimiz mumkin. Birinchi ta’kidga k o ‘ra, u.. lar o ‘zining musbat maksimumiga I ‘n da erishadi, lekin v:J |rn = 0 bo`lganligi chun Vy lar ichida musbati y o ‘q. Ikkinchta’kidga k o ‘ra, Vy lar ichida manfiy y o ‘q, degan xulosaga kelamiz. Shiming uchun v:J = 0 ayniyatga kelamiz. Demak (5) tenglamalar sistemasi trivial yechimga ega. Bundan (3), (4) tenglamalar sistemasi yechimga ega va uning yagonaligi kelib chiqadi. (3), (4) tenglamalar sistemasini oddiy iteratsiya yoki Zeydel usuli bilan yechish mumkin [7]. Masalan, oddiy
iteratsiya usulida (3) ni
(6 )
ko’rinishda yozib olish kerak. To`rning qadamlarini shunday olish lozimki, lar musbat boTsin. (6) ning har bir tenglamasining o ‘ng tomonidagi koeffitsiyentlaming barchasi musbat bo’lib, ulaming yig’indisi birdan qat’iy kichik, chunki

y a’ni

Bu esa, oddiy iteratsiya usulining yaqinlashuvchi b o ‘lishligining yetarli shartidir.
Shuni ta’kidlash lozimki, murakkabroq to ‘r tenglamalar sistemasining yechimga egaligini k o ‘rsatish ancha qiyin va uni hal qilish uchun ancha nozik matematik bilimlami jalb etish kerak b o ‘ladi.