Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo

Hosilaning fizik ma’nosi. Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchimasalada harakat qonuni s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligi v_oniy

= lim	∆s	ekanligini ko‘rgan edik. Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi
	∆t
∆t→0

kelib chiqadi.

s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziqli harakatda t vaqtmomentidagi harakat tezligining son qiymati hosilaga teng: v_oniy=s’(t).
Hosilaning mexanik ma’nosini qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila tezlikka teng.
Hosila tushunchasi nafaqat to‘g‘ri chiziqli harakatning oniy tezligini, balki boshqa jarayonlarning ham oniy tezligini aniqlashga imkon beradi. Masalan, faraz qilaylik y=Q(T) jismni T temperaturaga qadar qizdirish uchun uzatilayotgan

issiqlik miqdorining o‘zgarishini tavsiflovchi funksiya bo‘lsin. U holda jismning issiqlik sig‘imi issiqlik miqdoridan temperatura bo‘yicha olingan hosilaga teng bo‘ladi:

C=	dQ	= lim	∆Q	.
	dT
		∆T →0	∆T

Umuman olganda, hosilani f(x) funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy tezligining matematik modeli deb aytish mumkin.

3. Urinma va normal tenglamalari.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x₀ nuqtada hosilaga ega, M(x₀;f(x₀)) funksiya grafigiga tegishli nuqta bo‘lsin. Funksiya grafigiga berilgan nuqtada o‘tkazilgan urinma tenglamasini tuzaylik.

Bu tenglamani y=kx+b ko‘rinishda izlaymiz. Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq M(x₀;f(x ₀)) nuqtadan o‘tishi ma’lum, shu sababli f(x₀)= kx₀+b tenglik o‘rinli.Bundan b=f(x₀)-kx₀ ekanligini topamiz. Demak, urinma tenglamasini y=kx+f(x₀)- kx₀yoki y= f(x₀)+k(x- x₀) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Agar urinmaning k burchak koeffitsienti hosilaning x₀ nuqtadagi qiymatiga tengligini e’tiborga olsak, y=f(x) funksiya grafigiga M(x₀;f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasiquyidagicha bo‘ladi:

y= f(x0)+f’(x0)(x-x0)
(3.1)

Ma’lumki,

agar
kurinma≠0
bo‘lsa,
urinma
va
normalning
burchak

koeffitsientlari perpendikulyarlik sharti k_normal⋅k_urinma=-1 bilan bog‘langan bo‘ladi. Bundan y=f(x) funksiya grafigiga M(x₀;f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan normal tenglamasini

y= f(x0)-	1	(x-x0)	(3.2)
	f ' ( x0 )

keltirib chiqarish mumkin.


1 -misol. Abstsissasi x=1 bo‘lgan nuqtada y=1/x giperbolaga o‘tkazilganurinma va normal tenglamalarini tuzing.

Yechish. Bu misolda x₀=1, f(x₀)=1, f’(x)=- ¹₂ , f’(1)=-1. Bu qiymatlarni (3.1)x

y=1-(x-1), ya’ni y=2-x;
(3.2) formuladan foydalanib, normal tenglamasini yozamiz: y=1+(x-1), ya’ni

y=x.
2 -misol. y=x² parabolaning A(0;-4) nuqtadan o‘tuvchi urinma tenglamasini yozing.

Yechish. Berilgan nuqta y=x²parabolaga tegishli emasligi ko‘rinib turibdi.Faraz qilaylik x=x₀ nuqta urinish nuqtasining abssissasi bo‘lsin. U holda f(x₀)=x₀², f’(x)=2x, f’(x0)=2x0. (3.1) formuladan foydalansak

y= x₀²+2x₀(x-x₀)
ya’ni

y= 2x0x- x0^2	(3.3)
tenglamaga ega bo‘lamiz.

Shartga ko‘ra urinma (0;-4) nuqtadan o‘tishi kerak. (3.3) tenglamada x va y o‘rniga 0 va -4 qiymatlarini qo‘yib x₀ ga nisbatan -4=- x₀² tenglamaga ega bo‘lamiz. Bundan x₀=2, x₀=-2 bo‘lishini topamiz.

Agar x₀=2 bo‘lsa, u holda urinma tenglamasi y=4x-4; agar x₀=-2 bo‘lsa, y=-4x-4 bo‘ladi.
Shunday qilib, ko‘rsatilgan shartni qanoatlantiruvchi ikkita y=4x-4, y=-4x-4 urinma tenglamasini hosil qildik.

4. 
   
   Ikki chiziq orasidagi burchak. Urinmalar yordamida ikki egri chiziqorasidagi burchak tushunchasi ta’riflanadi.
   

Ikki egri chiziq orasidagi burchak deb ularning kesishish nuqtasida shu chiziqlarga o‘tkazilgan urinmalari orasidagi burchakka aytiladi.

Bu ta’rifdan foydalanib ikki chiziq orasidagi burchak tangensini topish mumkin. Faraz qilaylik y=f₁(x) va y=f₂(x) chiziqlar M₀(x₀;y₀) nuqtada kesishsin, hamda y=f₁(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma abssissa o‘qi bilan α burchak, y=f₂(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma esa β burchak tashkil qilsin. (3-rasm)

Agar γ urinmalar orasidagi burchak bo‘lsa, u holda γ=β-α bo‘ladi. Bundan
esa
tgγ=tg(β-α)= ^tgβ−tgα

1+tgβ⋅tgα

tenglikka ega bo‘lamiz.

9-rasm
Ammo hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tgα=f₁’(x₀) va tgβ=f₂’(x₀), demak ikki chiziq orasidagi burchak uchun

tgγ=	f2' ( x0 ) − f1' ( x0 )							(3.4)
	1 −f	2	' ( x	0	) ⋅ f ' ( x	0	)
					1

formula o‘rinli bo‘ladi.

3-misol. y=x² parabola va y=¹ giperbolalar orasidagi burchakni toping. x

		2
Buning uchun ushbu ^y^=^x			,	sistemani yechamiz. Bundan x^2=	1	, x^3=1, x=1
y =	1				x
	x

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, sistemaning yolg‘iz (1,1) yechimi mavjud. (x²)’=2x

bo‘lgani uchun f1’(1)=2, shuningdek,

1

^'

= −

1

bo‘lgani

uchun f2’(1)=-1

х

х^2

bo‘ladi. Demak, (3.4) formulaga ko‘ra tgγ=

−1− 2

= 3bo‘lib, bundan burchak

1+ 2⋅(−1)

kattaligi uchun γ=arstg3 tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi.

(9 -rasm).

Hosila hisoblash qoidalari
Biz oldingi paragraflarda hosila tushunchasini turli fizik masalalarni yechishda, urinma tenglamasini yozishda foydalandik. Hosilaning boshqa tatbiqlarini kelgusida o‘rganamiz. Bu degani har xil masalalarda uchrashishi mumkin bo‘lgan turli xil funksiyalarning hosilalarini hisoblashni bilish zarurligini anglatadi. Ushbu paragrafda u(x) va v(x) funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining hosilalarini topishni o‘rganamiz.

Quyida keltirilgan teoremalar isbotida hosila topish algoritmidan, limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar haqidagi teoremalardan foydalanamiz. Shuningdek ∆u=u(x+∆x)-u(x) va ∆v=v(x+∆x)-v(x) ekanligini hisobga olgan holda, u(x+∆x)=u(x)+∆u, v(x+∆x)=v(x)+∆v tengliklardan foydalanamiz.

u(x) va v(x) funksiyalar (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin.
1. Yig‘indining hosilasi.
1-teorema. Agaru(x)vav(x)funksiyalarningx∈(a,b)nuqtada hosilalarimavjud bo‘lsa, u holda f(x)=u(x)+v(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va

f’(x)=u’(x)+v’(x)

(4.1)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isboti. 1^0.f(x)=u(x)+v(x).

2^0. f(x+∆x)= u(x+∆x)+ v(x+∆x)= u(x)+∆u+ v(x)+∆v.

3^0. ∆y= f(x+∆x)- f(x)= ∆u+∆v.

4^0.

∆y

=

∆u + ∆v

=

∆u

+

∆v

.

∆x

∆x

∆x

∆x

5^0. lim

∆y

= lim

∆u + ∆v

= lim

∆u

+ lim

∆v

= u' ( x ) + v' ( x ).

∆x

∆x

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x→0

Shunday qilib, (4.1) tenglik o‘rinli ekan. Isbot tugadi.

Misol. (x²+1/x)’=(x²)’+(1/x)’=2x-1/x².
Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash mumkin:

Natija. Agaru1(x), u2(x), ... ,un(x)funksiyalarningxnuqtada hosilalarimavjud bo‘lsa, u holda f(x)= u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:

f’(x)=( u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x))’= u’₁(x)+ u’₂(x+ ...+u’_n(x) .