Buxoro davlat universiteti

(I.1.1-chizma komleks tekislik)
Chizmada ifodalangan shu nuqtaning radius-vektori deyiladi. Radius vektorning uzunligi , uning o’qi bilan tashkil etgan burchagi bo’lsin.

Chizmada tasvirlangan to’g’ri burchakli uchburchakdan

, ,

tengliklarni aniqlaymiz. Aniqlangan va ni kompleks sonning algebraik ko’rinishiga keltirib qo’ysak,

ifoda hosil bo’ladi. Odatda kompleks sonning bu ifodasi uning trigonometrik ko’rinishi deyiladi. Bunda musbat son kompleks sonning moduli deyilib, kabi belgilanadi: , burchak esa kompleks sonning argumenti deyilib, kabi belgilanadi: .

ga Pifagor teoremasini qo’llash natijasida

hamda

bo’lishini aniqlaymiz.

Demak, (І.1.6) formula kompleks sonning modulini hisoblashda, (І.1.7) formula esa kompleks sonning argumentini hisoblashda qo’llaniladi.

І.1.1-misol. Ushbu kompleks sonning moduli va argumentini toping.

Yechish. Berilgan kompleks sonda , bo’ladi. Yuqoridagi formulalarga ko’ra

, ,

ya’ni kompleks sonning moduli argumenti bo’ladi.

І.1.2-misol. Ushbu kompleks sonni trigonometrik ko’rinishida ifodalang .

Yechish. Berilgan kompleks sonda , .

ni olamiz chunki, berilgan kompleks songa mos bo’lgan vektor uchinchi chorakda yotadi.

Kompleks sonning ko’rsatkichli ko’rinishi. Faraz qilaylik, sonning moduli argumenti esa bo’lsin. Unda bu kompleks sonni

trigonometrik ko’rinishida yoza olamiz.

Bizga ma’lum bo’lgan

Eyler formulasidan foydalansak kompleks sonning

ko’rinishiga ega bo’lamiz. Bu ifoda kompleks sonning ko’rsatkichli ko’rinishi deyiladi.

Yuqorida kompleks sonning turli ko’rinishlari bilan tanishdik, qaralayotgan masalaning shartiga binoan kompleks sonning u yoki bu ko’rinishidan foydalaniladi.

Masalan, ikkita

,

kompleks sonlar uchun va larning ifodalari sodda ko’rinishga ega bo’ladi.

,

.

Bu munosabatlardan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

.Ikkita va kompleks sonlar ko’paytmasining moduli shu sonlar modullarining ko’paytmasiga teng:

,

argumenti esa shu sonlar argumentlarining yig’indisiga teng:

.

. Ikkita va kompleks sonlar nisbati ning moduli shu sonlar modullarining nisbatiga teng:

,

argumenti esa shu sonlar argumentlarining ayirmasiga teng:

.

Kompleks sonni darajaga ko’tarish va undan ildiz chiqarish. kompleks sonlar berilgan bo’lsin. Yuqorida ikkita kompleks sonning ko’paytmasini ko’rgan edik shu singari berilgan n ta kompleks sonlar ko’paytmasi

ko’rinishida bo’ladi. Xususiy holda deb olsak, va bo’lishi ma’lum. (І.1.9) tenglikdagi kompleks sonlarning tengligidan (І.1.9) ifoda quyidagi ko’rinishga keladi:

Bu ifoda kompleks sonning -darajasi deyiladi.

Ravshanki,

Demak,

Odatda (І.1.11) formula Muavr formulasi deb ataladi.

Demak, trigonometrik shakldagi kompleks sonni -darajaga ko’tarish uchun uning modulini shu darajaga ko’tarib, argumentini ga ko’paytirish kerak.

І.1.3-misol. Ushbu kompleks sonning 7-darajasi topilsin.

Yechish. Berilgan kompleks sonni trigonometrik ko’rinishiga keltiramiz:

bunda ,

Hosil bo’lgan sonning trigonometrik shaklini Muavr formulasidan foydalanib 7-darajaga ko’taramiz.

Kompleks sonning har qanday darjali ildizlarini topish uchun bizga son berilgan bo’lsin. Agar bo’lsa, son ning -darajali ildizi deyiladi va

ko’rinishida yoziladi. Bizga mana shu ildizni topish talab qilinadi.Buning uchun dastlab berilgan sonni trigonometrik ko’rinishga keltiramiz:

Kompleks sonlar ustida to’rt amalini bajarganimizda yana kompleks son hosil bo’lishini ko’rgan edik. Shuning uchun kompleks son ildizning ham, kompleks sondan iborat deya olamiz. Demak, shu fikrga asosan (І.1.12) ni quyidagicha yoza olamiz:

hozircha va noma’lum bo’lib, masala shularni aniqlashdan iborat. Shu maqsadda (І.1.13) ning ikki tomonini -darajaga ko’taramiz, u holda , ya’ni kompleks sonni darajaga ko’tarishga asosan

hosil bo’ladi. Qavslarni ochib

tenglikka ega bo’lmiz. Tenglikning ikkala tomonini tenglashtirib, ushbu

tengliklarga ega bo’lamiz. Tengliklarni kvadratga ko’tarib hadma-had qo’shsak

tengliklardan

musbat son bo’lgani uchun o’ng tomonini ham, masbat haqiqiy sonning -darajali, aniq bir musbat ildizdan iborat deb tushunmoq lozim. Biz noma’lumni aniqladik endi, (І.1.14) ning chap tomonidagi o’rniga (І.1.15) dagi qiymatini keltirib qo’ysak,

tengliklar hosil bo’ladi.

Trigonometriyadan ma’lumki,

,

U holda (І.1.16) tengliklarga ko’ra:

bundan

Shunday qilib, bizga noma’lum bo’lgan burchak cheksiz ko’p qiymatlarga ega ekan. Endi, (І.1.15) va (І.1.17) dagi va ning qiymatlarini (І.1.13) ga qo’yib, uning chap tomonini qisqacha bilan belgilaymiz:

bunda qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bundan kompleks sondan olingan ildizlarning soni cheksiz ko’p bo’lishi mumkinmi, degan savol tug’lishi tabiiy. Shuning uchun kompleks sonni -darajali ildizdan chiqarganda o’zaro teng bo’lmagan nechta ildiz kelib chiqishini tekshirishimiz zarur.

Biz ga turlicha musbat qiymatlar bergan bilan (І.1.18) dan kelib chiqadigan ildizlar har xil bo’lavermaydi.Faqat

bo’lgandagina ildizlar o’zaro teng emas, chunki (І.1.19) ga mos bo’lgan quyidagi

burchaklarning bir-biridan farqi dan kichik, misol uchun:

Endi, bo’lganda (І.1.18) dan yangi ildizlar kelib chiqmasligini,

ya’ni

ildizlarning yana takrorlanishini ko’rish qiyin emas shu maqsadda

deb belgilaymiz, u vaqtda:

O’ng tomonidagi mana shu burchakning sinus va kosinuslari mos ravishda ushbu

burchakning sinus va kosinuslariga teng bo’lgani uchun yana (І.1.19) hol takrorlanadi. Shunday qilib yuqoridagi fikrlardan quyidagi xulosaga kelish mumkin:

kompleks sonning -darajali ildizlari soni ta bo’lib, ular (І.1.20) ga asosan (І.1.18) formula orqali topiladi.

І.1.4-misol. ni hisoblang.

Avval radikal ishorasi ostidagi kompleks sonni trigonometrik shaklga keltiramiz ,

Berilgan kompleks songa mos bo’lgan vektor uchinchi chorakda yotgani uchun

Demak,

Bundan, yuqoridagi formulaga asosan, to’rtinchi darajali ildizlarini topsak bo’ldi: