Kompleks funksiyaning differensiallanuvchanligi.
funksiya to’plamda berilgan bo’lsin. Bu to’plamdan nuqtani tanlab olib unga shunday orttirma beraylikki, bo’lsin. Natijada funksiya ham nuqtada
orttirmaga ega bo’ladi.
1.1.4-ta’rif. Agar da nisbatning limiti
mavjud va chekli bo’lsa, bu limit kompleks o’zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi hosilasi deb ataladi va kabi belgilanadi.
.
1.1.2-Misol. Ushbu funksiyaning nuqtada hosilasini toping.
nuqtaga orttirma berib, shu nuqtadagi funksiya orttirmasini hisoblaymiz:
Unda
bo’lib,
ga teng bo’ladi.
1.1.5-ta’rif. Agar funksiyaning nuqtada hosilaga ega bo’lsa, funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.
Agar funksiya to’plamning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo’lsa, funksiya to’plamda differensiallanuvchi deyiladi. Aytaylik, funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsin. Unda, ravshanki,
bo’lib,
bo’ladi. Bu yerda da ham nolga intiladi. .
Faraz qilaylik, funksiya biror sohada berilgan bo’lsin.
1.1.6-ta’rif. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida -differensiallanuvchi bo’lsa, nuqta golomorf ( yoki analitik) deb ataladi.
1.1.7-ta’rif. Agar funksiya sohaning har bir nuqtasida golomorf bo’lsa, funksiya sohada golomorf deyiladi.
Odatda, sohada golomorf bo’lgan funksiyalar sinfi kabi belgilanadi.
Aytaylik, fazodagi sohada funksiya berilgan bo’lib, u shu sohada ikinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga
ega bo’lsin.
1.1.8-ta’rif. Agar E sohaning har bir nuqtasida
tenglik bajarilsa, funksiya sohada garmonik deyiladi.
Odatda bu tenglik Laplas tenglamasi deyiladi. Bu tenglama ushbu
Laplas operatori yordamida quyidagicha yoziladi.
Laplas operatori uchun
bo’lishini e’tiborga olsak, unda tenglikni quyidagicha
yozish mumkin.
Quyidagi golomorf funksiya bilan garmonik funksiyalar orasida munosabatni ifolaydigan teoremani keltiramiz.
1.1.2-teorema. sohada golomorf bo’lgan har qanday funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari va funksiyalar shu sohada garmonik bo`ladi.
Isbot. Aytaylik,
funksiya D sohada golomorf bo`lsin. Unda
,
tengliklar bajariladi.
Bu tenglikdan foydalanib topamiz:
Agar
bo`lishini etiborga olsak, u holda yuqoridagi tengliklardan
bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning garmonik funksiya ekanligini bildiradi.
Xuddi shunga o`xshash funksiyaning garmonik funksiya bo`lishi ko`rsatiladi.
Teorema isbot qilindi.
Dostları ilə paylaş: |