Buxoro davlat universiteti

4.1-teorema. (z) analitik funksiya bo’lib, va uchun bo`lsin. U holda nuqtaning atrofi va analitik akslantirish mavjud bo`lib,

o`rinli.

Eslatma. funksional tenglamaga Shryoder funksional tenglamasi deyiladi.

Isbot. ni quyidagi

darajali qator ko`rinishda yozib olish mumkin, bu yerda berilgan qator nuqtaning biror atrofida yaqinlashuvchi. funksional tenglamani qanoatlantiruvchi analitik funksiyani topish kerak. Bunday analitik funksiya darajali qator ko`rinishda tasvirlanadi va

kabi yozib olamiz. Avval bu qatorning koeffitsiyentlarini topamiz. Bu funksional tenglamaning formal yechimidir. U holda bu qator ning biror atrofida yaqinlashuvchi ekanligini ko`rsatish kerak.

Formal yechimni toppish uchun bu oson qismi. va lar uchun qo`zg`almas bo`lgani uchun uchun ham qo`zg`almasdir. Demak, . Keyin, va larning 1-hadlarini taqqoslab ni topamiz. deb olib

ni hosil qilamiz. Qolgan larni ham shunga o`xshash aniqlaymiz. Funksional tenglamani

kabi yozish mumkin. Shu sababli

Qaraz qilaylik, lar ma’lum bo`lsin. U holda bu tenglamaning o`ng tomonidagi -tartibli hadi ni ifodalaydi, chunki yig`indi 2- tartibdan boshlanmoqda. Xususan, ni koeffitsiyenti koeffitsiyentli ya’ni koeffitsiyentli ko`phad bo`lib koeffitsiyentlar musbat butun sonlardir. Bu hadni orqali belgilaymiz, lar ma’lum bo`lsa, aniqlangan bo`ladi.

U holda koeffisientlari taqqoslab


ni hosil qilamiz. Shu sababli, koeffisientlar avvalgi koeffisientlar orqali aniqlanadi, bunda va formal yechim aniqlandi.

Bu yechim yaqinlashuvchi ekanligini isbotlashdan oldin uchun ifodani topishda yoki - bu 1 ning ildizi. Boshqa holda aniqlanmagan.

Ushbu

qator yaqinlashuvchi bo`lishini ko`rsatish uchun bir nechta lemma kerak bo`ladi.