Buxoro davlat universiteti

II. Kompleks analitik dinamik tizimlar.

2.1 Akslantirishlar oilasi va maxsus nuqtalar.

Kompleks analizdan boshlang`ich ma’lumotlar. Kompleks sonlar tekisligining C bilan belgilaymiz. kompleks soni ko`rinishida yoziladi, ning haqiqiy qismi kabi belgilanib ga teng, mavhum qismi kabi belgilanib ga teng. Bunda . ning moduli kabi belgilanadi, ya’ni

2.1-ta’rif. Agar

Mavjud bo’lsa, ga nuqtaga analitik deyiladi.

2.2-ta’rif. Faraz qilaylik, ochiq bog`lamli to`plam bo`lsin. Agar funksiya har bir nuqtada analitik bo`lsin. U holda topilib uchun

o`rinli.

Har bir analitik funksiya hech bo`lmaganda local ravishda darajali qator ko`rinishda tasvirlanadi. Albatta, ko`phadlar maxsus hol bo`lib, yuqoridagi yig`indi chekli va uning yaqinlashishi aniq.

Elementar matematikadagi ko`plab funksiyalar analitik bo`ladi. Ko`phadlardan tashqari ko`rinishdagi ratsional funksiya o`z aniqlanish sohasida analitik bo`ladi, bu yerda va lar ko`phadlar. Quyida biz analitik funksiya ta’rifini holga ham davom ettiramiz. Analitik funksiyalarning yana bir sinfi butun transcendental funksiyalardir. Butun funksiyalarga sinus va kosinuslar misol bo`la oladi.

2.3-ta’rif. uchun

tengliklar o`rinli.

2.4-ta’rif. Agar ochiq to`plam uchun yoki shunday bir qiymatli analitik funksiya mavjud bo`lsa, ga 1 bog`lamli deyiladi, bu yerda orqali ochiq doira belgilangan: .

2.5-misol. yoki yarim tekislik bir bog`lamlidir. Haqiqatan ham,

funksiya ni ga akslantiradi.

2.1-tasdiq. Faraz qilaylik, ochiq to`plam, esa analitik funksiya bo`lsin. U holda

1. analitik, bu yerda - bu ning - tartibli hosilasi;

2. dagi ochiq to`plam, - o`zgarmas emas.

3. (Maksimum prinsipi). Agar chegaralangan bo`lsa, u holda o`z maksimumiga ning chegarasida erishadi.

Teskari funksiya haqidagi teoremadan lokal taskarilanuvchilik haqidagi natijani hosil qilamiz.

2.2- tasdiq. analitik bo’lib, bo’lsin. U holda va ni atrofi topilib funksiya ni ga bir qiymatli akslantiradi. Bundan tashqari, teskari funksiya analitik.

Funksiyaning analitiklik sharti kritik nuqta atrofida tartibi bilan bog’liq, ya’ni bo’ladigan nuqtaga bog`liq.

2.3-tasdiq. F analitik va uchun bo’lib, .U holda

shunday va nuqtaning atrofi topilib, agar bo’lsa, u holda ning da roppa-rosa n ta yechimi mavjud.

Markazi nuqtaga radiusli doirani deb belgilaymiz. bilan chegarasi bilan tutashtiruvchi sharni orqali belgilaymiz. ning bir necha obrazlari ni ta sektorlarga ajratadi. U holda funksiya har bir sektorning ichki qismini ga gomomorf akslantiradi. 1.1- chizmaga qarang. Masalan, bo’lganda funksiyani qaraymiz. tenglama yagona yechimga ega bo’lib, barcha lar uchun tenglama rosa ta yechimga ega. Bu yechimlar ning - tartibli ildizlaridir.