Buxoro davlat universiteti

Kompleks argumetli funksiya limiti.

Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, nuqta to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.

1.1.2-ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, zargumentning 0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymaylarida

tengsizlik bajarilsa, kompleks son funksiyaning dagi limiti deb ataladi va

kabi belgilaadi.

1.1.3-ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argumentning tengsizlikni qanoat lantiruvchi barcha z E qiymatlarida

tengsizlik bajarilsa, dagi funksiyaning limiti deyiladi.

Endi hamda kompleks sonlarni

, ,

deb, so’ng

ekanligini e’tiborga olib, da funksiyaning limitga ega bo’lishi , da hamda funksiyalarni mos ravishda va limitlarga ega bo’lishiga ekvivalent ekanligini ifodalovchi teoremani keltiramiz.

1.1.1-teorema. funksiyaning limitga,

ega bo’lishi uchun

bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. Aytaylik,

bo’lsin. Limit ta’rifiga binoan son topilgnda ham shnday son topiladiki, z argumtning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida

tengsizlik bajariladi.

Ravshanki,

bo’lib,

bo’lishidan

b o’lishi kelib chiqadi.

Ikkinchi tomondan quyidagi
tengsizliklar o’rinli bo’ladi.
Demak, son olinganda ham shunday son topilsaki, bo’lganda

tengsizliklar bajariladi. Bu esa

ekanligini bildiradi.

Yetarliligi. Aytaylik,

bo’lsin. Limit ta’rifiga asosan, olinganda ham, ga ko’ra shunday son topiladiki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi va da tengsizliklar bajariladi. Bu tengsizliklardan foydalanib topamiz:

Demak, .

Teorema isbot bo’ldi.