Differensial hisobning asosiy teoremalari va tatbiqlari

Mısal. Bul [0,2] kesimde f(x)=4x³-5x²+x-2 funksiya ushın Lagranj formulasidaǵı c nıń mánisin topiń.
Sheshiliwi. funksiyanıń kesindi ushlaridaǵı mánislerin hám tuwındısın esaplaymız: f(0)=-2; f(2)=12; f’(x)=12x²-10x+1. Alınǵan nátiyjelerdi Lagranj formulasına qoyamız, nátiyjede
12-(-2)=( 12c²-10c+1)(2-0) yáki 6c²-5c-3=0 kvadrat teńlemeni payda etemiz. Bul teńlemeni sheshemiz: c_1,2= . Tawılǵan sheshimlerdi tek qaralıp atırǵan kesindige tiyisli. Demek, c= eken.
Lagranj teoremasi óz gezeginde tómendeǵı teoremanıń menshikli holi boladı.
3. Koshi teoremasi
Teorema (Koshi teoremasi). Eger [a, b] kesindida f (x) hám g (x) berilgen bolıp,
1) [a, b] de úzliksiz;
2) (a, b) interhámlda f' (x) hám g' (x) ámeldegi, hám de g' (x) ≠0 bolsa, ol halda hesh bolmaǵanda bir sanday c (a (1.4)
teńlik orınlı boladi.
Isbat. Ayqınki, (1. 4) teńlik mániske ıyelewi ushın g (b) ≠g (a) bolıwı kerek. Bul bolsa teoremadaǵı g'(x)≠0, x(a;b) shártdan kelip shıǵadı. Haqıyqatlıqtan da, eger g (a) =g (b) bolsa, ol halda g (x) funksiya Roll teoremasinıń barlıq shártlerin qánaatlantirib, qandayda bir c (a;b) noqatda g' (c) =0 bo'lar edi. Bul bolsa
x(a;b) da g‘(x)0 Shártke qarsı. Demek, g(b)g(a).
Endi járdemshi
funksiyani dúzemiz.
Shártga kóre f (x) hám g (x) funksiyalar [a, b] de úzliksiz hám (a, b) interhámlda differensiyalanıwshı bolǵanı ushın F (x) birinshiden [a, b] kesindida úzliksiz funksiyalarnıń sızıqlı kombinatsiyası retinde úzliksiz, ekinshiden (a, b) intervalda

Tuwındıǵa iye.
Mısal. Usı f(x)=x² hám (x)= funksiyalar ushın [0,4] kesindide Koshi formulasin jaziń hám s ni tabiń.
Sheshiliwi. Berilgen funksiyalardıń kesindi ushlarındaǵı mánisleri hám tuwındıları tawamız: f(0)=0, f(4)=16, (0)=0, (4)=2; f’(x)=2x, ’(x)= . Bulardan paydalanıp Koshi formulasın jazamız:
, bundan 4s =8 yoki s =2. Demek s= .