Differensial hisobning asosiy teoremalari va tatbiqlari
Yüklə 222,9 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 4. Birpara elementar funksiyalar ushın Makloren formulası 1. e
- Paydalanılǵan ádebiyatlar
| Pn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+ ... +bn(x-x0)n, (3.3)
kóriniste izleymiz. Belgisiz bolǵan b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlerdi tabıwda Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0), Pn’’(x0)=f’’(x0), ..., Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (3.4) shártlarden paydalanamız. Aldında Pn(x) kópaǵzalınıń tuwındıların tawamız : Pn’(x)=b1+2b2(x-x0)+3b3(x-x0)2+ ... +nbn(x-x0)n-1, Pn’’(x)=21b2+32b3(x-x0)+ ... +n(n-1)bn(x-x0)n-2, Pn’’’(x)=321b3+ ... +n(n-1)(n-2)bn(x-x0)n-3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , Pn(n)(x)=n(n-1)(n-2)...21bn. joqarıda oliǵan teńliklar hám (3.3) teńliktıń hár eki tárepine x ornına x0 ni qoyıp bárshe b0, b1, b2, ..., bn koeffitsientlar mánislerin tawamız: Pn(x0)=f(x0)=b0, Pn’(x0)=f’(x0)=b1, Pn’’(x0)=f’’(x0)=21b2=2!b2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pn(n)(x0)=f(n)(x0)=n(n-1)...21bn=n!bn Bulardan b0=f(x0), b1=f’(x0), b2= f’’(x0), . . ., bn= f(n)(x0) payda qılamız. Tawılǵan nátiyjelerdi (3.3) qoyamız hám Pn(x)= f(x0)+ f’(x0)(x-x0)+ f’’(x0)(x-x0)2+ ... + f(n)(x0)(x-x0)n, (3.5) Kóriniste kópaǵzalını payda qılamız. Bul toplam Teylor kopaǵzalısı dep ataladi. Teylor kópaǵzalısı (3.2) shártni qanaatlantirıwdı isbatlaymız. Funksiya hám Teylor kópaǵzalısı ayirmasın Rn(x) arqalı belgileymiz: Rn(x)=f(x)-Pn(x). (3.4) shártlarden Rn(x0)=Rn’(x0)=...= Rn(n)(x0)=0 bolıwı kelip shıǵadı. Endi Rn(x)=o((x-x0)n), yaǵnıy =0 ekenligi kórsetemiz . Eger xx0 bolsa, ańlatpanıń 0/0 tipidaǵı anıqemeslik ekenligin kóriw qiyin emes. Onda Lopital qaǵıydasın n márte tákirar qılamız. Ol jaǵdayda = =…= = = = =0, Demek xx0 da Rn(x)=o((x-x0)n) orınlı eken. Teorema. Eger y=f(x) funksiya x0 noqattıń bir átirapında n márte differensiallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda xx0 da tómendegi formula f(x)= f(x0)+ f’(x0)(x-x0)+ f’’(x0)(x-x0)2+ ... + f(n)(x0)(x-x0)n+o((x-x0)n) (3.6) orınlı boladı, bul jerde Rn(x)=o((x-x0)n) Peano kórinisidaǵı qaldıq aǵza. Eger (3.6) formulada x0=0 dep alsaq, Teylor formulasinıń ayrıqsha jaǵdayı payda boladı: f(x)=f(0)+ f’(0)x+ f’’(0)x2+ ... + f(n)(0)xn+o(xn). (3.7) Bu formula Makloren formulasi deb ataladı. 4. Birpara elementar funksiyalar ushın Makloren formulası 1. ex funksiya ushın Makloren formulası. f(x)=ex funksiyanıń (-;+) aralıqda bárshe tartibli tuwındılari bar: f(k)(x)=ex, k=1, 2, ..., n+1. Bundan x= 0 da f(k)(0)=1, k=1, 2, ..., n; f(n+1)(x)=ex hám f(0)=1 payda boladı. Alınǵan nátiyjelerdi (3.10) formulaǵa qoyıp (4.1) bul jerde 0<<1, formulaǵa iye bolamız. 23-Súwrette funksiya hám P3(x) toplam funksiyanıń grafikleri keltirilgen. Eger x=1 bolsa, (4.2) Formulaǵa iye bolamız. Bul formula járdeminde e saninıń irratsionalliǵin isbat qiliw múmkin. 23-Súwret Haqıyqattan da, shama menen oylayıq , - ratsional san bolsın. Bunda e>1 bolǵanlıǵı ushın p>q boladı. (4.2) da desek, Bul teńliktıń eki tárepine n! ǵa kóbeytirsek tómendegi teńlikti payda qılamız: (4.3) Bul jerda n sandı r dan úlken dep alıwımız múmkin. Ol jaǵdayda <1, p>q bolǵanlıǵı ushın (4.4) boladı. Sonıń menen birge , n>p>q bolǵanlıǵı ushın n! -pútin san, sebebi n! da q ǵa teń bolǵan kóbeytiwshi ushraydı. Ayqın , kórinisdegı jıyındı hám pútin san boladı. Demek, n>p ushın (4.3) teńliktıń shep tárepi oń pútin san, oń tárepi bolsa (4.4) ǵa kóre birden kishi oń san boladı. Bul kelip shiqqan qarama qarsılıq e saninıń ratsional san dep qıyal qılıwımızdı nadurıs ekenligin kórsetedi. Sonıń ushın e – irratsional san boladı. Paydalanılǵan ádebiyatlar 1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 1994, 2 t . 1995 2. Toshmetov O‘. Matematik analiz. Matematik analizga kirish. T., TDPU. 2005y. 3. Hikmatov A.G‘., Turdiyev T. «Matematik analiz», T.1-qism.1990y. 4. Sa’dullayev A. hám boshqalar. Matematik analiz kursi Mısal hám masalalar to`plami. T., «O‘zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995. 5. Hámvilov V.V. i dr. Zadachi po matematike. Nachala analiza. M.Nauka.,1990.-608s. 6. www.ziyonet.uz Yüklə 222,9 Kb. Dostları ilə paylaş:
|