Differensial hisobning asosiy teoremalari va tatbiqlari

Differensial esaplaw tiykarları


Joba :
1. Orta mánis haqqındaǵı teoremalar
2. Anıqemesliklerdi ashıw. Lopital qaǵıydaları
3. Teylor formulası
4. Birpara elementar funksiyalar ushın Makloren formulası

Matematikalıq analiz stulda uyreniletuǵın tiykarǵı hám ámeliy máselelerdi sheshiwde úlken áhmiyetke iye bolǵan funksiyalar klasslarınan (jıynaqlarınan ) biri-bul úzliksiz funksiyalar klası esaplanadı. Aldınǵı bapta biz differensiallanıwshı funksiyalar klası úzliksiz funksiyalar klasınıń bólegi bolıwın kórsetken edik. Differensiallanıwshı funksiyalar ayrıqsha áhmiyetke iye, sebebi kóplegen qollanıw máselelerdi sheshiw tuwındı ámeldegi funksiyalardı úyreniwge keltiriledi. Bunday funksiyalar birpara ulıwma ózgesheliklerge iye. Bul ózgeshelikler ishinde

orta mánis haqqındaǵı teoremalar atı menen birlesken teoremalar bólek áhmiyetke iye. Bul teoremalar [a;b] kesindinde úyrenilip atırǵan funksiya ushın ol yamasa bul qásiyetke iye bolǵan [a;b] kesindine tiyisli s noqattıń bar ekenligin aytıp ótedi.
1. Ferma teoremasi
Teorema. Eger f(x) funksiya (a,b) aralıqta anıqlanǵan hám qandayda bir ishki c noqatda eń úlken (eń kishi) mániske eriwse hám sol noqatda shekli f'(c) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halda f'(c) = 0 boladı.
Tastıyıq. f (c) funksiyanıń eń úlken ma`nisi bolsın, yaǵnıy x(a;b) da f(x) ≤ f(c) Teńsizlik orınlı bolsın. Shártga kóre bul s noqatda chekli f' (c) tuwındı bar.
Ayqınki,

Biraq x bolǵanda hám x>s bolǵanda bolıwınan f’(c)=0 ekeni kelip shıǵadı.
Eń kishi baha holi soǵan uqsas tastıyıqlanadı. Ferma teoremasi ápiwayı geometriyalıq mániske iye. Ol f(x) funksiya grafigiga (c;f (c)) noqatda ótkerilgen urınbanıń Ox oǵına paralell bolıwın ańlatadı ( 19 -súwret).
1- esletpe. Ishki s noqatda f'(s) =0 sanda da bul noqatda f(x) funksiya eń úlken (eń kishi) bahanı qabıl etpesligi múmkin. Mısalı, f(x)=2x³-1, x(-1;1) da Berilgen bolsın. Bul funksiya ushın f' (0) =0 boladı, lekin 19 -súwret
F'(0) =-1 funksiyanıń (-1;1) daǵı eń úlken yamasa eń kishi ma`nisi bolmaydı.