Differensial hisobning asosiy teoremalari va tatbiqlari

2. Lagranj teoremasi
Teorema (Lagranj teoremasi). Eger f (x) funksiyası [a, b] kesindinde úzliksiz hám (a, b) de shekli f' (x) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halda (a, b) de keminde bir c noqat ámeldegi bolıp,
(1.1)
Teńlik orınlı boladı.
Tastıyıq. Tómendegi járdemshi funksiyanı tuzib alamız :

Bul F (x) funksiyanı [a, b] kesindinde úzliksiz hám (a, b) de tuwındına iye bolǵan
f (x) hám x funksiyalardıń sızıqlı kombinatsiyası retinde qaraw múmkin. Bunnan F (x) funksiyanıń [a, b] kesindinde úzliksiz hám (a, b) de tuwındına iye ekenligi kelip shıǵadı. Sanıń menen birge
F(a)= F(b)=0,
Sanday eken F(x) funksiya Roll teoremasinıń barlıq shártlerin qánaatlantıradı.
Sanday eken, Roll teoremasına kóre (a, b) interhámlda keminde bir sanday s noqat ámeldegi boladıki, F' (c) = 0 boladı.
Sanday etip,

Hám bunnan bolsa tastıyıq etiliwi kerek bolǵan (1) formula kelip shıǵadı. Teorema tastıyıq boldı..

1. 
   1) formulanı geyde Lagranj formulası dep da júritiledi. Bul formula
   

f (b)-f(a)=f’(c)(b-a) (1.2)
Kóriniste de jazıladı.
Endi Lagranj teoremasinıń geometriyalıq mánisine toqtalamiz. f (x) funksiya Lagranj teoremasinıń shártlerin qánaatlantirsin deylik (21-súwret). Funksiya grafiginıń A (a;f (a)), B (b;f (b)) noqatlar arqalı kesetuǵın ótkeremiz, onıń múyesh koefficiyenti boladı.
21-súwret
Tuwındınıń geometriyalıq mánisine qaray f' (c) - bul f (x) funksiya grafigine onıń (s;f (s)) noqatında ótkerilgen urınbanıń múyesh koefficiyenti: tgβ=f'(c) Sanday eken, (1. 1) formula (a, b) interhámlda keminde bir sanday c noqat bar ekenligin kórsetedi, f(x) funksiya grafigine (c;f (c)) noqatda ótkerilgen urınba AB kesetuǵınǵa paralell boladı.
Tastıyıq etilgen (1. 1) formulanı basqasha kóriniste de jazıw múmkin.Onıń ushın a teńsizliklerdi itibarǵa alıp, belgilew kiritemiz, ol jaǵdayda c=a+(b-a), 0<<1 bolıwı anıq . Nátiyjede (1) formula usı
f(b) - f(a) = f’(a+(b-a))(b-a) kóriniske keledi .
Eger (1) formulada a=x₀; b=x₀+x almastırsaq orınlasaq, ol
f(x₀+x)-f(x₀)=f’(c)x (1.3)
bul jerde x_{0 0}+x, Kóriniske keledi. Bul formula argument arttırıwı menen funksiya arttırıwın baylanıstıradı, usınıń sebepinen (1. 3) formula chekli arttırıwlar formulası dep ataladı.
Eger (1. 1) Lagranj formulasında f (a) =f (b) dep alsaq, Roll teoremasi kelip shıǵadı, yaǵnıy Roll teoremasi Lagranj teoremasinıń menshikli holi eken.