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Outro tópico relevante diz respeito ao ensino do método axiomático. Os primeiros registros do seu
emprego remontam à
antiguidade grega e, em lenta evolução, esse método foi se tornando o padrão
de rigor lógico da Matemática. No século XIX, seu desenvolvimento passou pela retomada da discus-
são sobre paradoxos e pelo reestudo dos fundamentos da Matemática.
É importante para a formação geral no Ensino Médio, que os estudantes tenham oportunidade de um
contato, não exaustivo, mas significativo, com o método axiomático das validações matemáticas. Essa
seria uma boa maneira de favorecer, em aulas de Matemática, o desenvolvimento do que é usualmen-
te chamada de “argumentação lógica”.
Uma teoria axiomática envolve objetos de algum universo abstrato particular, que podem ser figuras
geométricas, números ou,
mais geralmente, elementos de conjuntos abstratos. Partimos de
objetos
primitivos
, não definidos, aos quais atribuímos um nome (exemplos: ponto, reta, plano, variável,
constante, conjunto, conjunto vazio). Ao lado disso, há as relações denominadas
axiomas
(ou
postu-
lados
), entre tais objetos e que não são demonstradas. Inevitavelmente
os nomes dos objetos pri-
mitivos são “influenciados” pelos significados ligados ao seu uso na linguagem natural. No entanto,
tais significados não importam para o seu uso na teoria axiomática. Os axiomas é que vão regular o
uso dos objetos primitivos no corpo da teoria. Dessa forma, os axiomas determinam as proprieda-
des suficientes para o funcionamento das relações básicas entre os objetos primitivos. Em seguida,
sequências de dedução lógica permitem definir outros objetos e demonstrar proposições que vão,
progressivamente, compondo uma teoria axiomática.
Nesse processo, as demonstrações (ou deduções) são sequências de proposições matemáticas, nas
quais qualquer uma delas é um axioma ou uma proposição que decorre logicamente de proposições
já demonstradas anteriormente. O último elemento dessa sequência é a proposição alvo da demons-
tração, que comumente chamamos de teorema.
Frequentemente, o teorema desejado é uma proposição do tipo: “Se
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