Regresinė analizė: samprata ir turinys

Tolesnė paskaitų konspekto medžiaga bus pateikiama nuo pirmojo iki dešimtojo žingsnio nuosekliai.

Todėl dėstona medžiaga sudalinta pagal etapus ir žingsnius. Pateikiamas pavyzdys, kurio pagrindu bus aiškinamas kiekvieno žingsnio turinys. Visi žingsniai pradedami nuo jų tikslo ir paskirties, po to pateikiant ekonometrinę teoriją, bei Excel skaičiuoklės komandas. Žingsnio aprašymas baigiamas skaičiavimo rezultatų išaiškinimu ir įžvalgomis.

2. Ekonominis regresinio modelio sudarymo etapas.

Kepyklėlės „Grūdas prie grūdo“ pardavimų vadybininkas, planuodamas ateities pardavimo problemas ir investicijų pagrįstumą turi numatyti būsimas duonos pardavimo kainas. Išnagrinėjęs mėnesines finansines ataskaitas nuo 2009 metų suvokė, kad būtina tam tikra analizės sistema ir procedūra. Prisiminęs ekonometrijos kursą bakalauro studijoje nusprendė įvertinti kokią įtaką kepamos ruginės duonos kainai turės brangstančios duonos kepimo sąnaudos. Pradėjo nuo regresinio modelio sudarymo pirmojo žingsnio

Pirmas žingsnis: Nagrinėjamos verslo situacijos detalizavimas. Veiksnių įvardinimas

Vadybininkas, nusprendė nustatyti pagrindinių duonos kepimo sąnaudų: rugių, cukraus, elektros energijos ir dyzelino kainų bei darbuotojų algų poveikį kepamos ruginės duonos kainai. Pirmiausia įtraukė pagrindines juodos duonos žaliavas: rugiius ir cukrų, Dyzelino kaina buvo pasirinkta kaip veiksnys, nuo kurio priklauso pagrindinės transportavimo išlaidos, susijusios su pagamintos produkcijos ir žaliavų, reikalingų produkcijos gamybai, pervežimu. Tuo tarpu elektros energija bei darbo jėga yra naudojama gaminant produkciją, todėl jų kaina (darbo jėgos kaina – vidutinis darbo užmokestis) įeina į gamybos kaštus ir veikia galutinio produkto kainą. 2009 m. rugsėjį padidintas PVM tarifas taip pat turėjo pakelti duonos kainą. Taigi vadybininko tikslas sudaryti regresinį modelį, kuris parodys, kokį poveikį turės kiekvienas iš šių veiksnių duonos kainai.

Pirmojo žingsnio rezultatas: Įvardinti modelio kintamieji: priklausomas kintamasis y^{duonos kaina} –tai nagrinėjamas reiškinys – ruginės duonos kaina, nepriklausomi kintamieji: duonos kepimo produktų: rugių (x^{rugių kaina} ) ir cukraus (x^{cukraus kaiana} ), kaina bei energetinių: resursų kainos: elektra (x^{elektros kaina} ), dyzelinas (x^{dyzelino kaina} ), taip pat, darbo užmokestis (x^{darb užm} ).
Antrasis žingsnis: Ekonominių hipotezių iškėlimas.

Kiekvieno iš išvardintų veiksnių kainos padidėjimas (kitiems veiksniams nekintant) didina duonos savikainą, o tai neišvengiamai turi atsiliepti ir duonos kainai. Bet kurio vieno iš šešių nepriklausomų veiksnių reikšmės sumažėjimas (kitiems veiksniams nekintant) mažina duonos sąnaudų vertę , o tai , taip pat, gali atsilieti gamybos kaštams, bet nebūtinai duonos kainai, nes ne visuomet ji yra mažinama, jeigu pirkėjų perkamoji galia ir paklausa nėra sumažėjusi. Tačiau duonos kainos reakcijos jautrumas arba elastingumas į veiksnių kainos kitimą gali skirtis. Tikėtina, kad rugių kainai pakilus, proporcingai augs ir duonos kaina, nes tai yra pagrindinė duonos žaliava. Tačiau degalų arba elektros kainos augimas gali turėti ir silpnėjantį poveikį duonos kainai, jeigu kepyklėlė pradės naudoti kurui ir energijai taupesnes mašinas ir technologijas. Apibendrinant galima pasakyti, kad visų veiksnių kainų padidėjimas iššaukia ir duonos kainos padidėjimą. Schematiškai galima pavaizduoti šiuos sąryšius tarp veiksnių tokiu būdu

X₁↑→Y↑ ; X₂ ↑→Y↑; X₃ ↑→Y↑; X₄ ↑→Y↑; X₅ ↑→Y↑; X₆↑→Y↑

Rodyklės rodo, kap keičiasi duonos kaina, didėjant sąnaudų kainoms. Jeigu rodyklės yra tos pačios krypties, tuomet, įvertinus modelį, prie šio kintamojo turėtų būti teigiamas koeficientas, Jeigu rodyklių kryptis yra priešinga, tuomet modelyje bus neigiamas koeficientas

jeigu nėra panaudota atvirkštinė kita mažėjanti funkcija.


Trečias žingsnis – tai duomenų rinkimas.

Regresiniai modeliai yra sudaromi naudojant dviejų tipų duomenis: laiko arba skerspjūvio duomenis, t.y., to paties veiksnio praeities faktinius duomenis arba dabarties skirtingų objektų pvz., skirtingų kepyklų, skirtingų rajonų arba miestų ir kt. duomenis. Šiuose modeliuose nėra būtina, kad visų kintamieji: Y ir X₁ , X₂ , ...X₆ , būtų matuojami vienodais matais.

Regresinių modelių duomenys dažniausiai būna skerspjūvio stebėjimų arba laiko eilutės.

Skerspjūvio (erdvės) duomenys - tai informacija apie stebėjimo vienetų:pvz.darbuotojų, įmonės padalinių, įmonių, vartotojų, namų ūkių, regionų, miestų ir kt. būklę konkrečiu laiko momentu. Žymėjimas pvz.:(y_i ; x_ij). Kai i=1,2…N, kur N- skaičius, parodantis, kiek tyrime įtraukta stebimų objektų.

Laiko duomenys (laiko eilutės) - tai informacija apie stebėjimo vieneto : pvz.vieno darbuotojo, įmonės padalinio arba vienos įmonės kokio nors rodiklio kitimą laike. Žymėjimas pvz.:(y_t; x_jt). kur t=1,2…T, kur T- skaičius, parodantis, kiek turime stebimų objektų.

Duomenys gali būti skirtingo pobūdžio: pradiniai-absoliutūs, santykiniai, intervaliniai, ranginai.

Pradiniai- absoliutūs duomenys. Pvz.: parduotų prekių vienetais arba verte. Pateiktame pavyzdyje mėnesinis darbo užmokestis litais yra tokių duomenų pavyzdys. Pradiniai absoliutūs duomenys, išreikšti piniginiais matais gali būti realūs arba nominalūs priklausomai nuo kainų indekso. Pasirinkimo problema dažniau iškyla nagrinėjant laiko eilutes. Patartina naudoti realius duomenis. Dėl kainų poveikio tarp dviejų nominalių kintamųjų gali atsirasti melaginga koreliacija. Norint įtraukti realius duomenis reikia juos koreguoti pagal infliacijos indeksą.

Santykiniai duomenys – tai duomenys pateikti ne absoliučiu dydžiu, bet tam santykiu, pvz.: BVP/1 vienam gyventojui, pelnas/ produkcijos vienetui, ir kt. Rodiklio pokyčiai( duonos kainos pokytis per tam tikrą laiką arba lyginant su per laikotarpį) bei augimo tempai (duonos kainos pokytis lyginant su ataskaitiniu laikotarpio reikšme) taip pat priklauso santykiniams rodikliams. Pradinius duomenis galima įtraukti ir logaritmene forma (pvz. imamas ne darbo užmokesčio dydis, o jo logaritmuota reikšmė). Toks kintamojo pakeitimas atspindi procentinį reiškės pokytį.

Pavyzdyje apie duonos kainą surinkti tokie duomenys: duonos kaina, išreikšta litais už kg.; dyzelino kaina, išreikšta litais už litrą; -rugių kaina, išreikšta litais už toną; elektros energijos kaina, išreikšta centais už kilovatvalandę; vidutinis darbo užmokestis, išreikštas litais per mėnesį, tokiose ekonominėse veiklose kaip žemės ūkis, maisto produktų gamyba, didmeninė ir mažmeninė prekyba; cukraus kaina, išreikšta litais už kilogramą. Įsidėmėtina, kad regresinėje analizėje labai svarbų žinoti kintamųjų matavimo vienetus, kurie gali būti labai skirtingi, kaip yra pateiktame pavyzdyje.

Duomenų lentelė atrodo taip:

1.Lentelė. Duonos kainos priklausomybės modelio duomenys

Metai/Mėnuo	Duonos kaina, Lt/kg	Dyzelino kaina, Lt/ltr	Rugių kaina, Lt/t	Elektros kaina, ct/kWh	Vid. Darbo Užmokestis, Lt/mėn.	Cukraus kaina, Lt/kg
2009/03	4,50	3,22	238,87	23,54	1884,43	3,18
2009/04	4,51	3,12	244,12	23,54	1884,43	3,21
ir toliau	Duomenys paimti iš : http://www.stat.gov.lt/lt/ bei http://www.lesto.lt/

Iš viso į tyrimą buvo įtraukti 36 stebėjimai. Duonos kainos buvo fiksuojamos nuo 2009 m. kovo mėn. iki 2012 m. vasario mėn. imtinai. Kadangi praktiškai nepriklausomų veiksnių reikšmės negali įtakoti to paties mėnesio priklausomo veiksnio reikšmę, buvo fiksuojama kaip vieno mėnesio nepriklausomi veiksniai įtakos priklausomą veiksnį po dviejų mėnesių, pvz.: kaip 2009 m. balandžio mėn. dyzelino, rugių, elektros, darbo jėgos ir cukraus kainos įtakos 2009 m. birželio mėn. duonos kainą.


Regresinio modelio duomenys

Regresinių modelių duomenys dažniausiai būna skerspjūvio arba laiko.

Pjūvio (erdvės) duomenys - tai informacija apie stebėjimo vienetų:pvz.darbuotojų, įmonės padalinių, įmonių, vartotojų, namų ūkių, regionų, miestų ir kt. būklę konkrečiu laiko momentu. Žymėjimas pvz.:(Y_i ; X_ij). Kai i=1,2…N, kur N- skaičius, parodantis, kiek tyrime įtraukta stebimų objektų.

Laiko duomenys (laiko eilutės) - tai informacija apie stebėjimo vieneto : pvz.vieno darbuotojo, įmonės padalinio arba vienos įmonės kokio nors rodiklio kitimą laike. Žymėjimas pvz.:(Y_t; X_jt). kur t=1,2…T, kur T- skaičius, parodantis, kiek turime stebimų objektų.

Duomenys gali būti skirtingo pobūdžio: pradiniai-absoliutūs, santykiniai,

Pradiniai- absoliutūs duomenys. Pvz.: parduotų prekių vienetais arba verte. Pateiktame pavyzdyje mėnesinis darbo užmokestis litais yra tokių duomenų pavyzdys. Pradiniai absoliutūs duomenys, išreikšti piniginiais matais gali būti realūs arba nominalūs priklausomai nuo kainų indekso. Realių ir nominalių duomenų pasirinkimo problema dažniau iškyla nagrinėjant laiko eilutes. Patartina naudoti realius duomenis. Dėl kainų poveikio tarp dviejų nominalių kintamųjų gali atsirasti melaginga koreliacija. Norint įtraukti realius duomenis reikia juos koreguoti pagal infliacijos indeksą.

Santykiniai duomenys – tai duomenys pateikti ne absoliučiu dydžiu, bet tam santykiu, pvz.: BVP/1 vienam gyventojui, pelnas/ produkcijos vienetui, ir kt. Rodiklio pokyčiai( duonos kainos pokytis per tam tikrą laiką) bei augimo tempai (duonos kainos pokytis lyginant su ataskaitiniu laikotarpio reikšme) taip pat priklauso santykiniams rodikliams. Pradinius duomenis galima įtraukti ir logaritmene forma (pvz. imamas ne darbo užmokesčio dydis, o jo logaritmuota reikšmė). Toks kintamojo pakeitimas atspindi procentinį reiškės pokytį.

Nagrinėjamą verslo situaciją gali veikti ne vien tik veiksniai, kuriuos galima išreikšti kiekybiniais matais, bet ir kokybiniai veiksniai, pvz., krizės paveikio duonos, kainai, PVM mokesčio tarifo pakitimai. Kokybinius veiksnius į regresinį modelį galima įtraukti pasinaudojant fiktyviais (arba pseudo) kintamaisiais. Pateiktame pavyzdyje galima būtų traukti tokius kokybinius kintamuosius: PVM mokesčio tarifo pasikeitimas nuo 18 iki 21proc. 2008 metų krizės poveikis, bei sezoniškumo įtaka rugių arba duonos kainai.

Fiktyvūs kintamieji,

Fiktyvus kintamasis – tai į regresijos lygtį įtraukiamas veiksnys, įgyjantys ne tikrąsias, o pagal tam tikrus požymius suformuotas fiktyvias reikšmes. Pavyzdžiui, analizuojant įmonių pelningumą, kokybiniu veiksniu gali būti užsienio kapitalo buvimas įmonės kapitale. Šiuo atveju galima įvairiai organizuoti tyrimą. Pavyzdžiui, į regresiją įtraukiant fiktyvų kintamąjį, kuris įgauna 0 reikšmę, jei įmonės kapitalas suformuotas iš vietinių lėšų ir 1 reikšmę, jei yra pritrauktas užsienio (ar ir užsienio) kapitalas. Tačiau tikėtina, jog tikslingiau tokį tyrimą organizuoti išskiriant daugiau grupių; pvz. vietinio kapitalo, užsienio kapitalo ir mišraus kapitalo įmones. Šiuo atveju reikėtų jau dviejų fiktyvių kintamųjų - vieno, kuris įgautų 1 reikšmę, jei tai yra užsienio kapitalo įmonė, ir dar vieno, kuris įgautų 1 reikšmę, jei įmonė yra mišraus kapitalo; trečias atvejis – kai įmonės kapitalas vietinis – gaunamas kai abiejų minėtų fiktyvių kintamųjų reikšmės lygios nuliui. Aptartas pavyzdys formalizuotas žemiau darant prielaidą, kad be fiktyvių kintamųjų buvo nagrinėjami kiti du įmonių pelningumą aiškinantys veiksniai (pvz., vidutinis įmonės darbo užmokestis ir skolinto bei nuosavo kapitalo santykis):

y_i = β₀+ β ₁X_1i +β₂X_2i+β₃D_1i+β₄D_2i+ε _i,

kur D₁ ir D₂ yra fiktyvūs kintamieji, įgyjantys 1 arba 0 reikšmes. D₁=1, jei įmonė yra užsienio kapitalo, kitu atveju D₁=0; D₂=1, jei įmonė – mišraus kapitalo, kitu atveju D₂=0.

Aukščiau aptartas vienas fiktyvių kintamųjų naudojimo atvejis, kai reikia įvertinti konkrečių kokybinių veiksnių įtaką rezultatiniam kintamajam. Toks naudojimas yra paplitęs analizuojant pjūvinius duomenis. Regresija tiriant laiko eilutes dažniau reikia įvertinti konkretaus išsiskiriančio stebėjimo ar grupės išskirtinių stebėjimų poveikį. Fiktyvių kintamųjų naudojimas leidžia eliminuoti įprastinių sąlygų ryšiams nebūdingus tarpsnius. Pavyzdžiui, finansinė krizė gali sąlygoti pinigų apyvartos greičio priklausomybės nuo palūkanų normų regresijos ryšio pokytį. Todėl į regresijos lygtį yra įtraukiamas fiktyvus kintamasis, įgaunantis 1 reikšmę krizės įtakos metu. Šiuo atveju gaunama dviguba nauda: pirmiausia, nustatomas neiškreiptas nuolatinis ryšys (kadangi eliminuojamas netipinis krizės poveikis); antra, netipinė įtaka įvertinama kiekybiškai. Tačiau lieka klausimas, kaip nustatyti, kada prasidėjo ir kada baigėsi išskirtinės sąlygos? Paprasčiausias, tačiau mažiausiai patikimas būdas – nustatyti sąlygų pasikeitimo momentus ekspertiniu būdu. Regresinėje analizėje fiktyviais kintamaisiais galima eliminuoti ar nustatyti sezoniškumo įtaką^. Čia pasirenkamas vienas bazinis sezonas, kuriam fiktyvus kintamasis nepriskiriamas. Pavyzdžiui ketvirtinio periodiškumo duomenims būtų taikoma tokia regresija, kurioje bazinis yra ketvirtas sezoniškumo periodas:

y_i = β₀+ β₁x_1i+δ₁D_1i+ δ₂D_2i+ δ₃D_3i+ε _i,

kur D_1i=1 pirmą ketvirtį, kitu atveju D_1i=0, antrą ketvirtį D_2i=1, trečią - D_3i=1.

Ši regresija interpretuojama taip: ketvirto ketvirčio kintamųjų ryšys (Y_i = β₀+ β₁x_1i) gaunamas tada, kai D_1i, D_2i, D_3i lygūs nuliui; pirmo ketvirčio ryšys (Y_i = β₀+ β₁x_1i+ δ₁) gaunamas, kai D_1i=1 ir t.t.

Svarbu įsidėmėti, kad jeigu kokybinis veiksnys gali įgauti kelias būsenas, (pvz. ketvirtinių duomenų sezoniškumas turi 4 sezonus) tai įtraukiamų į modelį fiktyvių kintamųjų turi būti vienu mažaiu, negu būsenų, (t.y., įtraukiame 3 fiktyvius kintamuosius, o vieną būseną-sezoną pavadiniame bazine, kurios atžvilgiu bus įvertintas kitų trijų sezonų įtaka.Įtraukus keturis sezonų fiktyvius kintamuosius, negalima bus apskaičiuoti koeficientų prie fiktyvių kintamųjų, nes tokiu atveju susiduriame su fiktyvių kintamųjų spąstais, kai skaičiuojant koeficientus atsiranda dalyba iš 0.

Fiktyvūs kintamieji yra labai naudingi, norint atsakyti į klausimą, arkokybinis veiksnys t.y., tam tikros sąlygos, priemonės ir kt. turėjo įtakos nagrinėjam reiškiniui (pvz., reklama arba akcijos prekių pardavimo apimtims) Šiuo atveju regresijos sudarymas nesiskiria nuo ankstesniųjų regresijų, tik joje atsiranda fiktyvus kintamasis, kuris įgauna 1 reikšmę, tiems stebėjimams, kai priemonė buvo taikyta ir 0, kai netaikyta. Atsakymą į klausimą apie poveikį gausime, patikrinę fiktyvaus kintamojo statistinio reikšmingumo hipotezę.

Fiktyvių kintamųjų naudojimas taip pat leidžia vertinti išskirtinių sąlygų poveikio tipą, t.y. kaip kinta regresija apibūdinamas ryšys: fiksuotu dydžiu padidėja/sumažėja reakcijos dydis ar keičiasi jautrumas ir pan. Visa tai leidžia suprasti tiriamo proceso ypatumus ir, susidarant panašioms situacijoms, priimti atitinkamus sprendimus



Patys fiktyvūs kintamieji gali būti dviejų tipų: poslinkio ir posūkio. Pirmu atveju nenulinis fiktyvus kintamasis įtakoja regresijos tiesės pasislinkimą ordinačių ašies atžvilgiu (žr. 10.1. paveikslą). Antru atveju – regresijos tiesės nuolydžio kampo pasikeitimą (žr. 10.2. paveikslą).

Poslinkio fiktyvus kintamasis Posūkio fiktyvus kintamasis

Norint įvertinti fiktyvaus kintamojo poslinkio poveikį, naudojama tokia regresijos išraiška:

Y_i = βo+β₁X_i+δ₁D₁+ε_i

Kai D₁=0, tai regresijos laisvasis (atkarpos) koeficientas lygus β₀, o kai D₁=0, – laisvojo koeficiento bendras dydis apskaičiuojamas kaip β₀ ir δ₁ koeficientų suma.

Jei norima įvertinti kokybinio veiksnio poveikį modelio nepriklausomam kintamajam t.y., nagrinėjamą reiškinį įtakojančiam veiksnui, tuomet naudojama tokia regresijos forma

Y_i = βo+β₁X_i+δ₁D₁X_i +ε_i

Šiuo atveju, kai, D₁=0, regresijos nuolydžio kampo prieš kintamąjį X₁ koeficiento dydis lygus β₁, o kai D₁=1, – X₁ koeficiento bendras dydis apskaičiuojamas kaip β₁ ir δ₁ koeficientų suma.

Žinoma, dažniausias yra abiejų atvejų derinys (žr. paveikslą žemiau), kurį galima įvertinti apjungiant poslinkio bei nuolydžio lygtis:

Y_i = β₀+δ₁D_1i + β₁X_i+δ₂X_iD_1i+ε_i.