Volume , issue impact Factor: 249

 
Qo’shish amali
. α
1
=
a
1
+b
1
i
va α
2
=
a
2
+b
2
i
kompleks sonlarning yig’indisi deb haqiqiy qismi 
qo’shiluvchi kompleks sonlar haqiqiy qismlarining yig’indisiga, mavhum qismi ularning mavhum 
qismlarining yig’indisiga teng bo’lgan α kompleks songa aytiladi va u quyidagicha yoziladi: 
α
=( a
1
+ a
2
) + (b
1
+ b
2
)i 
Misol: (5-3i) + (3+3i)=(5+3) + (3-3)i= 8 
(2+5i) + (-2+5i)=(2-2) + (5+5)i= 10i 
 
Ayirish amali
. α
1
=
a
1
+b
1
i
kompleks sondan α
2
=
a
2
+b
2
i
kompleks sonning ayirmasi deb α
1
va 
α
2
ga qarama-qarshi bo’lgan – α
2
sonlarning yig’indisidan iborat bo’lgan kompleks songa aytiladi: 
α= α
1
+ (-α
2
)= 
( a
1 
- a
2
) + (b
1 
- b
2
)i 
Misol: (10+2i) – (3-4i)= (10-3) – (2+4)i= 7+6i 
(4+5i) – (3+5i)= (4-3) – (5-5)i= 1 
 
Ko’paytirish amali
. α
1
=a
1
+b
1
i va α
2
=a
2
+b
2
i kompleks sonlarning ko’paytmasi deb
α= α
1
× α
2
=(
a
1
a
2
 – b
1
b
2
) + (a
1
b
2
 + a
2
b
1
)i 
kompleks songa aytiladi. Kompleks sonlarni ko’paytirganda 
i
2
=-1, 
i
3
=
-i
,
 i
4
= 
i
2
×i
2
=1, 
i
5
=i
va hokazo, 
umuman k butun bo’lganda
i
4k
=1, i
4k+1
=i, i
4k+2
=-1
, 
i
4k+3
=-i
ekanligini e’tiboga olish kerak. 
Misol: (5+2i)(3-4i)= 23-14i 
(2+i)(2-i)= 4+1=5 
 
Bo’lish amali
. . α
1
=a
1
+b
1
i kompleks sonning α
2
=a
2
+b
2
i kompleks songa bo’linmasi deb α
1
= 
α× α
2
tenglikni qanoatlantiradigan α kompleks songa aytiladi va u quyidagi formula bilan topiladi: 

i
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a








2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1



 
Misol:
i
i
i
i
i
i
i
i
5
4
5
7
5
4
7
)
2
)(
2
(
)
2
)(
3
2
(
2
3
2











O’rin almashtirish, gruppalash qonuni kompleks sonlarda ham to’g’ri: 

---

MUALLIM | 
УЧИТЕЛЬ | TEACHER
 

№6 | 2023

 
32 
(a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi) 
(a+bi) · (c+di) = (c+di) · (a+bi) 
(a+bi) + (c+di) + (e+fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)] 
 
Kompleks sonning geometrik tasviri va uning trigonometrik shakli. 
Har qanday kompleks 
son 
a+bi
ni Oxy tekislikda koordinatalari a va b bo’lgan z(a;b) nuqta shaklida tasvirlash mumkin va 
aksincha, Oxy tekislikdagi har qanday z(a;b) nuqtani a+bi kompleks sonning geometrik obrazi deb 
qarash mumkin. Kompleks sonlarni tekislikda tasvirlaganda Oy o’q mavhum, Ox o’q esa haqiqiy o’q 
deb olinadi. Koordinatalar boshini qutb, Ox o’qining musbat yo’nalishini qutb o’qi deb olib, z(a;b) 
nuqtaning qutb koordinatalarini φ va r (r≥0) bilan belgilaymiz, u holda
a+bi= r(Cos φ + iSin φ) 
formulaga ega bo’lamiz, bunda
2
2
b
a
r


, 
a
b
arctg


bo’lib, r ga 
a+bi
kompleks sonning 
moduli, φ ga esa kompleks sonning argumenti deyiladi, r(Cos φ + iSin φ) ga
a+bi
sonning 
trigonometrik shakli deyiladi. Burchak 










2
2
2
2
,
b
a
a
Cos
b
a
b
Sin



shartlardan topiladi. 
Odatda burchak φ ning [-2π;0] yoki [0; 2π] dagi qiymati olinadi.
Misol: Algebraik ko’rinishdagi kompleks sonni trigonometrik 
ko’rinishga o’tkazish. α=
1+i r=|1+i|=
2 ,
2
1


Sin
,
2
1


Cos
, demak, 
4



;
α=
1+i=
)
4
4
(
2


iSin
Cos


 
 
Trigonometrik ko’rinishdagi kompleks sonlar ustida quyidagi amallar bajariladi. 
 
1.
Trigonometrik ko’rinishda berilgan ikki kompleks son 
ko’paytmasi 
shunday 
kompleks 
sonki, 
uning 
moduli 
ko’paytiruvchilar modullarining ko’paytmasiga, argumenti esa 
ko’paytiruvchilar argumentlarining yig’indisiga teng, ya’ni
 
r
1
(Cosφ
1
+ 
i
Sinφ
1
) · 
r
2
(Cosφ
2
+ 
i
Sinφ
2
)=
= r
2
·
 r
2
(Cos(φ
1+
φ
2
) + 
i
Sin(φ
1+
φ
2
)) 


Misol: 2(Cos20
0
+ 
i
Sin20
0
) · 7(Cos100
0
+ 
i
Sin100
0
)= 
= 14(Cos120
0
+ 
i
Sin120
0
)= 
i
3
7
7


24
)
(
24
)
8
7
8
7
(
6
)
8
8
(
4













iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos
2.
Trigonometrik ko’rinishda berilgan ikki kompleks son bo’linmasining moduli bo’linuvchi va 
bo’luvchi modullarining bo’linmasiga teng bo’lib, bo’linmaning argumenti bo’linuvchi va bo’luvchi 
argumentlarining ayirmasiga teng, ya’ni 

---

MUALLIM | 
УЧИТЕЛЬ | TEACHER
 

№6 | 2023

 
33 
))
(
)
(
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1














iSin
Cos
r
r
iSin
Cos
r
iSin
Cos
r
Misol:
i
iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos
5
3
5
1
)
60
60
(
5
2
)
47
47
(
5
)
107
107
(
2












i
iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos





)
90
90
(
40
40
130
130






Kompleks sonning trigonometrik ko’rinishini n- darajaga oshirish uchun moduli n- darajaga 
oshiriladi, argumentiga n soni ko’paytiriladi. Agar 
n
natural son bo’lib, α=
r
(Cosφ+
i
Sinφ) 
trigonometrik ko’rinishdagi son bo’lsa, u holda
α
n
=
r
n
(Cos
n
φ+
i
Sin
n
φ) 
o’rinli bo’ladi. Bu formulaga Muavr formulasi deyiladi. 
Misol:


100
)
2
1
2
3
(
i
(Cos30
0
-
i
Sin30
0
)
100
=(Cos(-30
0
)+
i
Sin(-30
0
))
100
= 
= Cos(-3000
0
)+
i
Sin(-3000
0
)= Cos120
0
– 
i
Sin120
0
= 
2
3
2
1
i


Kompleks sonni 
n
- ildizdan chiqarish uchun moduli n- darajali ildizdan chiqariladi, argumenti 
esa n soniga bo’linadi. 
n
iSin
Cos
r
)
(



ildiz quyidagi formula bilan topiladi: 
)
2
2
(
)
(






k
iSin
n
k
Cos
r
iSin
Cos
r
n
n





,
bunda 
n
– natural son, k=0, 1, 2,3……n-1. 
Misol: W= 
;
3
2
4
3
3
2
4
3
2
1
3
3


















k
iSin
k
Cos
i




1.
k=0
i
iSin
Cos
W
3
3
6
0
2
1
2
1
)
4
4
(
2






2.
k=1
i
iSin
Cos
W
3
,
0
08
,
1
)
12
11
12
11
(
2
6
1







3.
k=2
)
12
19
12
19
(
2
6
2


iSin
Cos
W


 
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati. 
1.
Soatov Y.U. «Oliy matеmatika», I jild, Toshkеnt, O'qituvchi, 1992 y. 
2.
Piskunov N.S. «Diffеrеnsial va intеgral hisob», 1-tom, Toshkеnt, O'qituvchi, 1972 y. 
3.
Madraximov X.S., Ganiеv A.G., Muminov N.S. «Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra», 
Toshkеnt, O'qituvchi, 1988 y. 
4.
Sarimsokov T.A. «Haqiqiy o'zgaruvchining funksiyalari nazariyasi», Toshkеnt, O'qituvchi, 
1968 y. 
5.
T. Yokubov «Matеmatik logika elеmеntlari», Toshkеnt, O'qituvchi, 1983y. 
6.
Rajabov F., Nurmеtovа. «Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra», Toshkеnt, O'qituvchi, 1990 
y. 

---

MUALLIM | 
УЧИТЕЛЬ | TEACHER
 

№6 | 2023

 
34 
7.
Shnеydеr V.Е., Slutskiy A.I., Shumov A.S. «Oliy matеmatika qisqa kursi», I tom, Toshkеnt, 
O'qituvchi, 1983 y. 
8.
Nazarov R.N., Toshpolatov B.T., Dusumbеtov A.D. «Algеbra va sonlar nazariyasi», I qism, 
Toshkеnt, O’qituvchi, 1993 y. 
9.
Azlarov T., Mansurov X. «Matеmatik analiz», I qism, Toshkеnt, O'qituvchi, 1994 y. 
10.
To'laganov T., Normatov А. «Matеmatikadan praktikum», Toshkеnt, O'qituvchi, 1983 y. 
11.
www.kompy.info.uz
12.
www.matematika.uz