Həyat Fəaliyyəti Təhlükəsizliyi üzrə Təbiət fundamental fənlər kafedrası

Əyrixətli inteqrallar.
Əyrixətli inteqrallar bir sıra məsələlərin həllində tətbiq olunur. Burada birinci növ əyrixətli inteqral vasitəsilə maddi AB əyrisinin kütləsi hesablanır.
Tutaq ki, hamar və ya hissə-hissə hamar maddi AB əyrisinin xətti sıxlığı ilə işarə olunmuşdur.
AB əyrisinin nöqtələri vasitəsilə kiçik hissəsi üzərində ixtiyari nöqtəsi götürək və fərz edək ki, qövsünün bütün nöqtələrində xətti sıxlıq kəmiyyətinə bərabərdir. Onda maddi qövsünün kütləsi olar (
Buna görə də maddi AB əyrisi üzərində paylanmış kütlə təqribi olaraq

bərabərliyi ilə hesablanar. Bu bərabərlikdə aparılan bölgünün
parametrinin sıfra yaxınlaşması şərtində limitə keçdikdə maddi AB əyrisinin dəqiqi kütləsi alınır:

Nəhayət qeyd edək ki, üçölçülü fəzada yerləşən əyrilər üzrə götürülmüş birinci növ əyrixətli inteqrallara baxmaq, onların hesablanmasından xassələrindən və tətbiqlərindən danişmaq olar.
Tutaq ki, (Oxy) müstəvisində yerləşən istiqamətlənmiş əyrisi və bu əyri üzərində kəsilməyən P (x, y) funksiyası verilmişdir. əyrisini

nöqtələri vasitəsilə kimi kiçik hasillərə bölək. əyrisinin (1) bölgüsündən (bu bölgünü T ilə işarə edək) alınan qövsünun uzunluğu olsun. ədədlərinin ən böyüyü T bölgüsünün parametri adlanır və λ(T) ilə işarə olunur:

Şəkil – 4
Bölgüdən alınan hər bir hissəsi üzərində bir nöqtəsini götürək və aşağıdakı kimi inteqral cəmi düzəldək:
. (2)
Burada ilə qövsünün Ox oxu üzərində proyeksiyası işarə olunmuşdur (şəkil 4).
Tərif. (2) cəminin şərtində sonlu limiti varsa, həmin limitə P(x, y) funksiyasının ilə işarə olunur:

(3)
AB əyrisi üzərində təyin olunmuş kəsilməyən Q(x, y) funksiyasının y dəyişəninə görə ikinci növ
(4)
əyrixətli inteqralı da analıji olaraq təyin olunur.
(3) və (4) inteqrallarının cəmi ikinci növ ümumi əyrixətli inteqral adlanır və
(5)
kimi işarə olunur.
Tərifdən aydındır ki, ikinci növ əyrixətli inteqralların qiyməti əyrinin istiqamətindən asılıdır:
. (6)
Doğrudan da, qövsünun (Ox) oxu üzərində proyeksiyası olduğu halda, qövsünun həmin ox üzərində proyeksiyası olar. Buna görə də AB əyrisini (1) bölgüsünü tərsinə nömrələsək (yəni BA əyrisinin kiçik hissələrə bölsək) və uyğun (2) cəmini düzəltsək, onda

münasibəti və buradan da limitə keçdikdə

bərabərliyi alınır. Bu mühakimə (4) inteqralı üçün də doğrudur.
Qeyd edək ki, analoji olaraq üçölçülü fəzada yerləşən AB əyrisi üzərində təyin olunmuş və funksiyaları üçün

(7)
kimi ikinci növ ümumi əyrixətli inteqralıda təyin olunur. Bundan sonra (5) və (7)
əyrixətli inteqrallarını sadəcə olaraq
və (8)
kimi yazacağıq.
Qapalı konturu üzrə götürülmüş əyrixətli inteqrallar uyğun olaraq
və
kimi yazılır. Bu inteqrallar konturunun müsbət istiqaməti üzrə götürülmüş hesab edilir. konturunun mənfi istiqaməti üzrə götürülmüş inteqral üçün isə

münasibəti doğru olar.