Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi. Hosilaning tasviri va tasvirninghosilasi. Differentsial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsionhisob yordamida yechish

s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziqli harakatda t vaqt momentidagi harakat tezligining son qiymati hosilaga teng: v_oniy =s’(t).
Umuman olganda, hosilani f(x) funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy tezligining matematik modeli deb aytish mumkin.

Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari

y=x^ (x>0) darajali funksiyaning hosilasi
Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi y=(x+x)^-x^=x^(( )^-1) ga teng va bo‘ladi. Ma’lumki, . Shuning uchun . Bundan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi mavjud va y’=x^-1 bo‘ladi. Demak, (x^)’=x^-1 va d(x^)=x^-1dx formulalar o‘rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x))^ ko‘rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin: ((u(x))^)’=(u(x))^-1u’(x), d((u(x))^)= (u(x))^-1u’(x)dx.
Masalan y=(x²+1)³ funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x²+1), =3. Demak, yuqoridagi formulaga ko‘ra y’=3(x²+1)²((x²+1)’=3((x²+1)²2x=6x(x²+1)² bo‘ladi.
Ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi
y=a^x (a>0, a1) ko‘rsatkichli funksiya uchun y=a^x+x -a^x=a^x(a^x-1) va .
Ma’lumki, . Shuning uchun = =a^xlna mavjud. Demak (a^x)’=a^xlna va d(a^x)’=a^xlnadx, xususan, (e^x)’=e^x va d(e^x)’=e^xdx formulalar o‘rinli ekan.
Ko‘rinib turibdiki, y=e^x funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o‘ziga teng ekan.
a^u(x) (a>0, a1) funksiya uchun quyidagi formulalarning o‘rinli bo‘lishini ko‘rish qiyin emas: (a^u(x))’= a^u(x)u’(x)lna, d(a^u(x))= a^u(x)u’(x)lnadx.
Masalan, (3^5x-3)’=3^5x-3(5x-3)’ln3=53^5x-3ln3.
y=log_ax (a>0, a1, x>0) logarifmik funksiyaning hosilasi
Bu funksiya x=a^y funksiyaga nisbatan teskari funksiya bo‘lgani uchun teskari funksiyaning hosilasini topish qoidasiga ko‘ra ya’ni . Xususan, formula o‘rinli.
log_au(x) funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli: .
y=sinx funksiyaning hosilasi
Funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini sinuslar ayirmasi formulasidan foydalanib topamiz: .
Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbati
ga teng. Bu tenglikda birinchi ajoyib limit va cosx funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olgan holda limitga o‘tsak,
bo‘ladi.
Demak, (sinx)’=cosx formula o‘rinli. y=cosxfunksiyaning hosilasi