Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi. Hosilaning tasviri va tasvirninghosilasi. Differentsial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsionhisob yordamida yechish

f’(x)=( u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x))’= u’₁(x)+ u’₂(x+ ...+u’_n(x) .
Ko‘paytmaning hosilasi
2-Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x(a,b) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning f(x)=u(x)v(x) ko‘paytmasi ham x(a,b) nuqtada hosilaga ega va
f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) (2)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot
1⁰. f(x)=u(x)v(x).
2⁰. f(x+x)=u(x+x)v(x+x)=(u(x)+u)(v(x)+v)=
=u(x)v(x)+uv(x)+vu(x)+ uv.
3⁰. y= f(x+x)- f(x)= uv(x)+vu(x)+uv.
4⁰. .
5⁰. = =
=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)++u’(x) v.
Bunda v(x) funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olsak v=0 va natijada (2) formulaga ega bo‘lamiz.
1-natija. Quyidagi (Cu(x))’=Cu’(x) formula o‘rinli.
Misollar. 1. (6x²)’=6(x²)’=62x=12x.
2. (x⁴)’=((x²)(x²))’=(x²)’(x²)+(x²)(x²)’=2x(x²)+(x²)2x=4x³.
2-natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalar x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda ularning ko‘paytmasi f(x)= u₁(x)u₂(x) ...u_n(x) ham x nuqtada hosilaga ega va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:
f’(x)= (u₁(x) u₂(x) ...u_n(x))’= u’₁(x) u₂(x) ...u_n(x)+ u₁(x) u’₂(x) ...u_n(x)+...+ u₁(x) u₂(x) ...u’_n(x).
Bo‘linmaning hosilasi

3-Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar x(a,b) nuqtada hosilaga ega, v(x)0 bo‘lsa, u holda ularning f(x)=u(x)/v(x) bo‘linmasi x(a,b) nuqtada hosilaga ega va

f’(x)= (3)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isbot
1⁰. f(x)= .
2⁰. f(x+x)= = .
3⁰. y= f(x+x)- f(x)= - =
4⁰. =
5⁰. x0 da limitga o‘tamiz, limitga ega funksiyalarning xossalari va 2-teorema isbotidagi kabi v=0 tenglikdan foydalansak
= =
natijaga erishamiz, ya’ni (3) formula o‘rinli ekan.
Misol. Ushbu f(x)= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. = .
Shunday qilib biz ushbu paragrafda hosilani hisoblashning quyidagi qoidalarini keltirib chiqardik:

1. 
   Ikkita, umuman chekli sondagi funksiyalar yig‘indisining hosilasi hosilalar yig‘indisiga teng.
   
2. 
   O‘zgarmas ko‘paytuvchini hosila belgisi oldiga chiqarish mumkin.
   
3. 
   Ikkita u(x) va v(x) funksiyalar ko‘paytmasining hosilasi u’v+uv’ ga teng.
   
4. 
   Ikkita u(x) va v(x) funksiyalar bo‘linmasining hosilasi (u’v-uv’)/v²ga teng.1- va 2-teorema natijalaridan foydalangan holda quyidagi qoidaning ham o‘rinli ekanligini ko‘rish qiyin emas:
   

5. Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar chiziqli kombinatsiyasining hosilasi hosilalarning aynan shunday chiziqli kombinatsiyasiga teng, ya’ni agar f(x)=c₁u₁(x)+ c₂u₂(x)+...+ c_nu_n(x) bo‘lsa, u holda f’(x)=c₁u’₁(x)+ c₂u’₂(x)+...+ c_nu’_n(x).

Misollar
1. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping:
a) y=4x³-5x²-2x+7; b) y= x³+ -3,5x²+0,5x+9; c) y=-5x^-2+x^-3+5; d) y=x^1/4 +4x^3/8; e) y=4 - ; f) y=- .
2. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping:
a) y=(2-5x)(x³+2x-1); b) y=(2 -1)( +3); c) y= ;
3. Ushbu f(x)=3x²-4 +7 funksiya uchun 1) f’(1); 2) f’(9) 3) f’( );
4) 2f’(4)-f’(16) larni hisoblang.
Logarifmik hosila. Daraja-ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi
Logarifmik hosila
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a;b) intervalda differensiallanuvchi va f(x)>0 bo‘lsin. U holda shu intervalda lny=lnf(x) funksiya aniqlangan bo‘ladi. Bu funksiyani x argumentning murakkab funksiyasi sifatida qarab, x nuqtadagi hosilasini hisoblash mumkin. bo‘lgan x₀ nuqtada f(x) funksiyaning hosilasini topish kerak bo‘lsin. Murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidan foydalanib =(lnf(x))’, bundan y’=y(lnf(x))’ (1)
formulaga ega bo‘lamiz.
Funksiya logarifmidan olingan hosilaga logarifmik hosiladeyiladi.
Misol.y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechilishi. Berilgan funksiyani logariflaymiz: