Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi. Hosilaning tasviri va tasvirninghosilasi. Differentsial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsionhisob yordamida yechish

lny=2ln(x+1)-3ln(x+2)-4ln(x+3).Bu tenglikdan hosila olib, ushbu tenglikka ega bo‘lamiz: = .

Bundan
y’= ( )=- .

Daraja-ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi

Aytaylik y=(u(x))^v(x) (u(x)>0) ko‘rinishdagi daraja-ko‘rsatkichli funksiya berilgan va u(x), v(x) funksiyalar x ning qaralayotgan qiymatlarida differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu funksiyaning hosilasini hisoblash uchun oldingi banddagi (1) formulani qo‘llaymiz. Bu formulaga ko‘ra

y’=u(x)^v(x)(ln(u(x)^v(x))’=u(x)^v(x)(v(x)lnu(x))’=u(x)^v(x)(v’(x)lnu(x)+v(x) ) bo‘ladi. Bundan (u(x)^v(x))’=u(x)^v(x)lnu(x)v’(x)+v(x)u(x)^v(x)-1u’(x) formula kelib chiqadi.
Misol. y=x^x-1 funksiyaning hosilasini toping.
Yechilishi.Oldingi banddagi (1) formulani qo‘llaymiz. y’=y(lnx^x-1)’=x^x-1((x-1)lnx)’=
=x^x-1(lnx+1- ).
Misollar.
1. Quyidagi murakkab funksiyalarning hosilalarini toping:
a) y=(3x³-4x²+7)⁶; b) y= ; c) y= ; d) y= .
2. Ushbu f(x)=x³ funksiyaga teskari bo‘lgan funksiyaning x=5 nuqtadagi hosilasini toping.
3. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping:
a) y=3^xtgx; b) y=ln³4x; c) y=sin3x+2^1-2x; d) y=
4. Logarifmik hosiladan foydalanib, quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping:
a) y=(ctgx)^x; b) y=(cosx)^arctgx; c) y=(x-1)(x+2)⁴(x+3)^0,5;
d) y= ; e) y=

Murakkab funksiyaning hosilasi.Teskari funksiyaning hosilasi

1. Murakkab funksiyaning hosilasi.Aytaylik, u=(x) funksiya (a,b) intervalda, y=f(u) funksiya esa (c;d) da aniqlangan bo‘lib, bu funksiyalar yordamida y=f((x)) murakkab funksiya tuzilgan bo‘lsin (bunda, albatta, x(a,b) da u=(x)(c,d) bo‘lishi talab qilinadi).
Teorema. Agar u=(x) funksiya x(a,b) nuqtada hosilaga ega, y=f(u) funksiya esa u=(x) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda y=f((x)) murakkab funksiya x nuqtada hosilaga ega va
(f((x)))’=f’(u)’(x) (1)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Misol.y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechliishi. Bu erda y=u⁴,u= . Demak, y’=(u⁴)’ ’= =4u³ =8
Amalda (1) tenglikni
yokiy_x’=y_u’u_x’
ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Teskari funksiyaning hosilasi
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalda y’=f’(x) hosilaga ega va x(a,b) uchun f’(x)0 bo‘lsin.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalning har bir nuqtasida noldan farqli y’=f’(x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=(y) funksiya(f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va y(f(a);f(b)) uchun uning hosilasi 1/f’(x) ga teng bo‘ladi.
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
(4)
formula bilan ifodalanadi.
Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Teskari funksiyaning hosilasi haqidagi teoremadan foydalanib, y=arssinx(-1x1) funksiyaning hosilasini topaylik.

Bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=siny funksiya da monoton o‘suvchi va intervalda hosilaga ega, hamda bu intervalning har bir nuqtasida hosila noldan farqli: . Shuning uchun . Endi intervalda cosy>0 va bunda cosy= formula o‘rinli bo‘lganligi uchun y’_x= bo‘ladi.
Demak, , (-1<x<1)formula o‘rinli.

(arccosx)’= (-1<x<1) formula o‘rinli..
Ma’lumki, y=arctgx funksiyaning qiymatlar to‘plami intervaldan iborat. Shu intervalda unga teskari bo‘lgan x=tgy funksiya mavjud va bu funksiyaning hosilasi noldan farqli. Teskari funksiyaning hosilasi haqidagi teoremadan foydalansak,

bo‘ladi.
Demak,quyidagiformulao‘rinli: (arctgx)’= Xuddiyuqoridagikabiy=arcstgxfunksiyauchun(arcstgx)’=- formulaningo‘rinliekanliginiko‘rsatishmumkin.
Teskaritrigonometrikfunksiyalarningargumentlarixerklio‘zgaruvchiningu(x)funksiyasibo‘lsa, uholdamurakkabfunksiyaninghosilasinitopishqoidasidanquyidagiformulalarkelibchiqadi:
(arcsinu(x))’= ; (arccosu(x))’=- ;
(arctgu(x))’= ; (arcstgu(x))’=- ;
Istalgan funktsiya va argumentdan tashqari har qanday differentsial tenglama (DE) ushbu funktsiya hosilalarini o'z ichiga oladi. Differentsiatsiya va integratsiya teskari operatsiyalardir. Shuning uchun, echim jarayoni (DE) ko'pincha uni integratsiya deb nomlanadi va echimning o'zi integral deb nomlanadi. Aniq bo'lmagan integrallar ixtiyoriy doimiylarni o'z ichiga oladi, shuning uchun DE ham doimiylarni o'z ichiga oladi va doimiygacha aniqlangan echimning o'zi umumiydir.
Differentsial tenglamaning umumiy echimini qanday topish mumkin?