Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi. Hosilaning tasviri va tasvirninghosilasi. Differentsial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsionhisob yordamida yechish

(cosx)’=-sinx.

y=tgx va y=ctgx funksiyalarning hosilalari.
U shbu funksiyalarning hosilalarini topish uchun bo‘linmaning hosilasini topish qoidasidan foydalanamiz:
.

Xuddi shunga o‘xshash formulani ham keltirib chiqarish mumkin. 11-chizma

Trigonometrik funksiyalarning argumentlari x erkli o‘zgaruvchining u(x) funksiyasi bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasiga ko‘ra quyidagi formulalar o‘rinli bo‘ladi:
(sinu)’=u’cosu, (cosu)’=-u’sinu, .
Teorema. Agar f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, f(x) funksiya x nuqtada hosilaga ega bo‘lsin. Demak, ushbu limit mavjud va f’(x) ga teng. Bizga agar funksiya chekli limitga ega bo‘lsa, uni limit va cheksiz kichik yig‘indisi ko‘rinishda ifodalash mumkinligi ma’lum ( ). Bizning holimizda limitga ega bo‘lgan funksiya deb funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatini olamiz. U holda ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi:
=f’(x)+,
bu erda =(x) va =0. Bundan funksiya orttirmasi y=f(x+x)-f(x) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkinligi kelib chiqadi:
y=f’(x)x+x (1)
Bu tenglikdan, agar x0 bo‘lsa, u holda y0 bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) funksiyaning x nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni funksiyaning nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada hosilasi mavjudligi kelib chiqavermaydi. Masalan, y=|x| funksiya x ning barcha qiymatlarida, xususan x=0 nuqtada uzluksiz, ammo x=0 nuqtada hosilaga ega emas. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi orttirmasi y=|x| bo‘lib, undan va nisbatning x0 dagi limiti mavjud emasligi kelib chiqadi, demak f(x)=|x| funksiya x=0 nuqtada hosilaga ega emas.
Bir tomonli hosilalar
Ta’rif. Agar x+0 (x-0) da nisbatning limiti

mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi o‘ng (chap) hosilasi deb ataladi va f’(x₀+0) (f’(x₀-0)) kabi belgilanadi.
Odatda funksiyaning o‘ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deb ataladi.
Teorema.Aytaylik f(x) funksiya x₀ nuqtaning biror atrofida uzluksiz bo‘lsin. U holda f(x) funksiya x₀ nuqtada f’(x₀) hosilaga ega bo‘lishi uchun f’(x₀+0), f’(x₀-0) lar mavjud va f’(x₀+0)=f’(x₀-0) tenglikning o‘rinli bo‘lishi zarur va yyetarli bo‘ladi.
Hosila hisoblash qoidalari
Ushbu u(x) va v(x) funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining hosilalarini topishni o‘rganamiz.
Yig‘indining hosilasi
1-Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalarning x(a,b)nuqtada hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda f(x)=u(x)+v(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud vaf’(x)=u’(x)+v’(x) (1)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot
1⁰. f(x)=u(x)+v(x).

2⁰. f(x+x)= u(x+x)+ v(x+x)= u(x)+u+ v(x)+v.
3⁰. y= f(x+x)- f(x)= u+v.
4⁰. .
5⁰. .
Shunday qilib, (1) tenglik o‘rinli ekan.
Misol.(x²+1/x)’=(x²)’+(1/x)’=2x-1/x².
Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash mumkin:
Natija. Agar u₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x) funksiyalarning x nuqtada hosilalari mavjud bo‘lsa, u holda f(x)= u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi: