Immigratsiyali tarmo

b) Ko‘p хilli uzluksiz vаqtli tаrmоqlаnish jаrаyoni
3 – Tеоrеmа. Аgаr bаjаrilsа u hоldа
(9)
tаsоdifiy miqdоr dа tаsоdifiy miqоrgа o‘rtа kvаdrаtik yaqinlаshаdi, shu bilаn birgа
(10)
ya’ni ni yo‘nаlishi bilаn bir хil yo‘nаlgаn bo‘lаdi, vа
.
v


II BOB. IMMIGRATSIYALI TARMOQLANISH JARAYONI.


2.1-§. Immigratsiyali tarmoqlanish jarayoni ta`rifi va ayrim natijalari

Faraz qilaylik, -davrdagi Gal`ton-Vatson jarayoniga qo`sxiluvchi zarrachalar soni bo`lib, o`zaro bog`liqsiz va bir xil taqsimlangan bo`lsin.

Agar bilan -nchi davrdagi barcha zarrachalar sonini belgilasak, u holda
(2.1.1)
bu yerda lar o`zaro bog`liqsiz va bir xil taqsimlangan.
quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Hitkot (2.1.1) ga asosan

(2.1.2)
va kelib chiqadi.
Shu bilan birga Hitkot A<1 bo`lgan holda

tenglamani qanoatlantirishini ko`rsatdi.
Peyks da da ligini isbotladi.
Seneta Foster, Vil`yamson Kaplan lar ga teng (kritik jarayon) bo`lganda limitik taqsimot funksiya majud bo`lishini ko`rsatdilar.
Makarov G.D da

bo`lishini isbotladi. Bu yerda .
Vatutin V.A bo`lgan holda (2.1.3)
Seneta holda ixtiyoriy butun musbat uchun

ligini ko`rsatdi. Peyks ni taqsimotini absolyut uzluksizligini isbotladi.
Immigratsiyali Markov zanjiri uchun Svostyanov B.A Ouks , Zubkov A.M , Vatutin Peyks , Sagitov S.M , Rahimov I. lar yuqoridagi natijalarni isbotlaganlar.
TEOREMA. Agar bo`lsa, u holda

Bu teorema Saneta tomonidan ham isbotlangan, Makrov jarayoni uchun Sevostyanov B.A isbotlangan.
Teorema isboti. da (2.1.2) dan
. (2.1.4)
Oxirgi ifodani logarifmlab
(2.1.5)
ni hosil qilamiz.
Oxirgi tenglikdagi yiqindini quyidagicha qismlarga ajratamiz:

(2.1.6)
larni (1) nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz:


bu yerda va lar da chegaralangan funksiyalardir.
Bulardan ixtiyoriy chekli uchun da

Ma`lumki ,

bu yerda lar mos ravishda Bernulli sonlari va ko`phadlari ihtiyoriy butun musbat son. Bu formulada desak ,

Agar

larni hisobga olsak

qator va bo`yicha tekis yaqinlashadi. Shuning uchun da .
Ixtiyoriy uchun

(2.1.7)
Agar

ligini hisobga olsak,
(2.2.6)
ga ega bo`lamiz, ya`ni istalgancha katta bo`lganda ni yetarlicha kichik qilish mumkin.
Shu usulda ni ham baholash mumkin.
(2.1.2)-(2.1.6) lardan teorema isboti kelib chiqadi. .