Immigratsiyali tarmo

Lemma 3.2.2 ni isboti. A) Faraz qilaylik, zarrachaning yashash davrining boshlang`ich momentida bo`lsin, ya`ni . U holda
(2.2.9)
Yuqoridagilarni hisobga olgan holda to`la ehtimollik formulasidan quyidagini hosil qilamiz.
_(2.2.10)
Ikkinchi tomondan,
(2.2.11)
(2.2.10) va (2.2.11) ni -1 ga ko`paytirib, bo`yicha yig`sak, u holda
.
va ni aniqlab, oxirgi ifodadan hosil qilamiz.

yoki huddi shunday,

bu ifoda (2.2.4) ga ekvivalent bo`ladi.
B) sxema uchun quyidagi munosabatlardan foydalanamiz

(2.2.12)
(2.2.13)
ko`rsatish qiyin emaski,
<sub>(2.2.14)</sub>
yoki oldindagiday
(2.2.15)
(2.2.15) ni ikkala tomoniga Laplas almashtirishni qo`llasak (2.2.7) kelib chiqadi.
Lemma to`la isbotlandi.
Asosiy natijalarni isbotlash uchun bizga quyidagi yordamchi tasdiqlar kerak bo`ladi.
Lemma 3.2.3. Faraz qilaylik hosil qiluvchi funksiya,

tengsizlik o`rinli bo`lishi uchun (3.2.16) bajarilishi uchun zarur va etarlidir.
Agar vaqt uzluksiz bo`lsa va bajarilsa, u holda (3.2.16) shart

bajarilishi uchun zarur va etarlidir.
Lemma 3.2.4. Faraz qilaylik,

(2.2.17)
(2.2.18)
shartning bajarilishi
(2.2.19)
ni o`rinli bo`lishi uchun zarur va etarlidir.
Agar vaqt uzluksiz bo`lsa, u holda (3.2.19) ni quyidagi ko`rinishida yozamiz.
(2.2.20)
Isboti. [4] ma`lumki, Gal`ton-Vatson jarayonini -chi avlodidagi zarrachalar soni bo`ladi va uning hosil qiluvchi funksiyasi bo`lib ni hosil qiluvchi funksiyasi ni -chi iteratsiyadan iborat bo`ladi va da [4] Gol`dshtey lemmasiga asosan
(2.2.21)
bu yerda - ni -chi svertkasi.
Bundan tashqari [7] dan bizning shartlarimizda
(2.2.22)
bu yerda birinchi tengsizlik uchun va ikkinchi tengsizlik uchun; qandaydir cheksiz kichik son.
Lemma 2.2.3 ni to`g`riligini ko`rsatish uchun [5] dagi A.M.Zubkovni lemmasidan, (2.2.21) va (2.2.22) lardan foydalanamiz. Lemma 2.2.3 isbotlandi.
Lemma 3.2.5. Faraz qilaylik, va (1) bajarilgan bo`lsin.
1. Agar bo`lsa, u holda
(2.2.23)
2. Agar bo`lsa, u holda
(2.2.24)
3. Agar (3.2.17) bajarilgan bo`lsa, u holda
(2.2.25)
bu yerda -sekin o`zgaruvchi funksiya. Agar yana (3.2.16) ga (2.2.18) bajariladigan bo`lsa, u holda
(2.2.26)

4. Agar va

(2.2.27)
(bu yerda va boshqa barcha joylarda bilan sekin o`zgaruvchi funksiyani belgilaymiz, ).
(2.2.28)
(2.2.29)
bo`lsa, u holda (2.2.28) ga asosan
(2.2.30)
va bo`lsa, u holda
(2.2.31)
Agar
(2.2.32)
Agar bo`lsa, u holda
(2.2.33)
5. Faraz qilaylik va (2.2.27) bajarilgan bo`lsin, bundan tashqari agar
(2.2.34)
(2.2.35)
bo`lsa, u holda [6] va bo`lsa,
(2.2.36)
agar bo’lsa
(2.2.37)
agar bo`lsa, u holda
(2.2.38)
Agar bo`lsa, u holda
(2.2.39)