Kirish I. Bob ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumlari

I.BOB Ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumlari
1.1 Funksiyaning o‘zgarmaslik sharti. O‘sishi va kamayishi
1-teorema. funksiya da differensiallanuvchi bo‘lsin. Shu intervalda funksiya o‘zgarmas bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi ravshan. Chunki funksiya o‘zgarmas bo‘lsa, barcha nuqtalarda bo‘ladi.
Yetarliligi. Shartga ko‘ra funksiya intervalda differensiallanuvchi, ya’ni uchun chekli hosila mavjud va Endi bo‘lgan nuqtalarni olaylik. Qaralayotgan funksiya kesmada Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak, intervalga tegishli shunday s nuqta topilib,
(1.1.1)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Teorema shartiga ko‘ra uchun , bundan , va (1) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. ¹
Shunday qilib, funksiyaning intervalning istalgan ikkita nuqtasidagi qiymatlarining o‘zaro teng. Demak, funksiya o‘zgarmas bo‘ladi.
Bundan integral hisobda muhim rol o‘ynaydigan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Agar va funksiyalar da chekli va hosilalarga ega bo‘lib, shu intervalda = tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda bilan funksiyalar bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi:
C=const.
Haqiqatan ham, shartga ko‘ra . Bundan 1-teoremaga asosan , ya’ni tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Misol. Funksiyaning o‘zgarmaslik shartidan foydalanib
formulaning o‘rinli ekanligini isbotlang.Yechish. Quyidagi funksiyani qaraymiz: bu funksiya da aniqlangan, differensiallanuvchi va hosilasi aynan nolga teng: . Funksiyaning o‘zgarmaslik shartiga ko‘ra

o‘rinli. C ni aniqlash uchun x argumentga qiymat beramiz, masalan bo‘lsin. U holda va
yoki bo‘ladi.