Kirish I. Bob ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumlari

Ekstremumning zaruriy sharti.
Funksiya hosilalari yordamida uning ekstremum nuqtalarini topish osonlashadi.
Avval ekstremumning zaruriy shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
Teorema. Agar funksiya nuqtada uzluksiz, shu nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.
Isboti. Faraz qilaylik funksiya nuqtada maksimumga ega bo‘lsin. U holda x₀ nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, bu atrofdan olingan uchun bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda
<0
tengsizlik, agar bo‘lsa, u holda
>0
tengsizlik o‘rinli bo‘lishi ravshan.
Bu tengsizliklar chap tomonidagi ifodalarning da limiti mavjud bo‘lsa, u holda
= = bo‘ladi.
Agar funksiyaning chap va o‘ng hosilalari nolga teng bo‘lsa, u holda funksiya hosilasi mavjud va nolga teng bo‘ladi.
A gar va lar noldan farqli bo‘lsa, ravshanki
bo‘lib, mavjud bo‘lmaydi.
Funksiya nuqtada minimumga ega bo‘lgan hol ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. Teorema isbot bo‘ldi. ⁴ 4-rasm
Misol. Ma’lumki, funksiyaning da hosilasi mavjud emas. Bu funksiya nuqtada minimumga ega (I bob,
2-§. 2-rasmga qarang).
Misol. bo‘lsin. , bo‘lgani uchun nuqtada funksiyaning ham hosilasi mavjud emas. Ammo bu funksiya nuqtada minimumga ega bo‘lishi ravshandir.
Ekstremum mavjudligining zaruriy sharti.
Teorema. Agar differensiallanuvchi funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, u holda uning shu nuqtadagi hosilasi nolga teng bo’lishi zarur, ya‘ni bo’ladi.
Isboti. Aniqlik uchun funksiyaning nuqtada maksimumga ega deb faraz qilamiz(115-chizma).
115-chizma
1) U holda lar uchun funksiya o’suvchi va , demak,
2) lar uchun funksiya kamayuvchi va , demak, va munosabatlardan kelib chiqadi.
Teoremaning geometrik mazmuni shuni bildiradiki, differensiallanuvchi funksiya uchun ekstremum nuqtalarida urinma 0x o’qqa parallel bo’ladi.
Biz shu paytgacha funksiya ekstremumga ega bo’lgan nuqtalarda differensiallanuvchi deb faraz qildik.
Funksiya hosilaga ega bo’lmagan yoki hosilasi cheksiz bo’lgan nuqtalarda ham funksiya ekstremumga ega bo’lishi mumkin.
Misol. funksiya butun son o’qida uzluksiz bo’lib nuqtada hosilaga ega emasligi isbotlangan edi. Bu nuqtada funksiya minimumga ega (100-chizma).