Kirish I. Bob ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumlari

Ekstremum mavjudligining yetarlilik sharti
Teorema(ekstremum mavjudligining birinchi yetarlilik sharti). funksiya kritik nuqta ni o’z ichiga olgan birorta intervalda uzluksiz va shu intervalning barcha (balki nuqtaning o’zidan boshqa) nuqtalarida differensiallanuvchi bo’lsin. Agar shu nuqtaning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tishda hosilaning ishorasi plyusdan minusga o’zgarsa, funksiya kritik nuqtada maksimumga ega bo’ladi. Agar nuqtaning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tishda hosilaning ishorasi minusdan plyusga o’zgarsa, funksiya bu nuqtada minimumga ega bo’ladi.
Isboti. -kritik nuqta bo’lib uning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tishda hosila ishorasini plyusdan minusga o’zgartirsin, ya‘ni nuqtaning chapida hosila musbat, uning o’ngida hosila manfiy bo’lsin. Demak shunday yetarlicha kichik musbat son mavjud bo’lib intervalda funksiyaning hosilasi va intervalda hosila bo’ladi.
Funksiyaning o’sishi va kamayishi haqidagi teoremaga binoan kesmada funksiya o’sadi , kesmada esa u kamayadi.
Demak, kesmaga tegishli barcha х lar uchun bo’ladi. Bu funksiya nuqtada maksimumga ega ekanligini ko’rsatadi(116-chizma).

116-chizma
Teoremaning ikkinchi qismi ham shunga o’xshash isbotlanadi(117-chizma).
Izoh. kritik nuqtaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o’tishda hosila ishorasini o’zgartirmasa kritik nuqtada funksiya ekstremumga ega bo’lmaydi.
Misol. funksiyaning monotonlik intervallarini va ekstremumini toping.
Yechish.1) Berilgan funksiya intervalda aniqlangan va differensiallanuvchi.
2) Funksiyaning hosilasini topamiz: .
3) Kritik nuqtalarini topamiz: ; ;
; -kritik nuqtalar.
hosilaning ishorasini intervallar usulidan foydalanib tekshiramiz.
Funktsiyaning lokal ekstremumlari. Statsionar nuqta. Ekstre-mumning zaruriy sharti.
funksiya nuqta r atrofi da aniqlangan bo‘lsin.
Agar nuqtaning atrofiga tegishli barcha lar uchun munosabatlar bajarilsa, nuqta lokal minimum (maksimum) nuqta deyiladi.
Lokal maksimum va minimum nuqtalarga funksiyaning lokal ekstremum nuqtalari deb ataladi.
Agar nuqtada funksiyaning gradienti nol vektor bo‘lsa, ya’ni

u holda bu nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.
Misol. funksiyaning statsionar nuqtasini toping.
Yechish: Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ixtiyoriy gradienti nuqtada
ga teng.
bo‘lishi uchun bajarilishi kerak. Sistema yechimi , demak (-1;4) statsionar nuqta.

Agar differensiallanuvchi funksiya nuqtada ekstre-mumga ega bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi xususiy hosilalari nolga teng bo‘lish zarur:

, .