Kombinatorika elementlari

6. Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar. Masala. m elemintli X to’plamdan nechta tartiblangan k elementli to’plamlar to’zish mumkin?
Bu oldingi masaladan umumiyroq bo’lib, undan farqi shuki, tartiblash k-elementda tugatiladi. Ularning umumiy soni
m(m-1)(m-2)….(m-k+1)
ko’pytmaga teng. U bilan belgilanadi va m elementdan k tadan takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar soni deb ataladi:

o!=1deb qabul qilinadi. Misol. Auditoriyadagi 30 talabadan 3ta faol talabani necha xil usul bilan tanlash mumkin.
Yechish. usul bilan tanlash mumkin. 7.Takroelanmaydigan guruhlashlar. Masala. m elemintli X to’plamning nechta k elementli qism to’plamlari bor? m elementli X to’plamning k elementli qism to’plamlari soni formula bilan hisoblanadi va u m elementdan k tadan takrorlanmaydigan guruhlashlar soni diyladi.
Misol. Guruhdagi 30 talabani ko’rikda ishtirok etish uchun 5 talabani necha xil usul bilan tanlash mumkin?
Echish. Ko’rik ishtirokchilarining tartibi ahamiyatga ega bo’lmagani uchun 30 elementli to’plamning 5 elementli qism to’plamlar soni nechtaligini topamiz:



Demak, 5 talabani 144306. usul bilan tanlash mumkin.
Endi ko’rinishdagi sonlarning ba’zi xossalarini qaraymiz.

2⁰ va 3⁰ xossalaridan foydalanib ko’rinishdagi sonlarning qiymatini ketma-ket hisoblash mumkin.

3⁰ xossaga ko’ra Bundan 2⁰ ga ko’ra . korinishdagi sonlarni Paskal uchburchgi ko’rinishida joylashtirish mumkin:
C⁰₀ 1
C⁰₁ C¹₁ 1 1
C⁰₂ C¹₂ C²₂ 1 2 1
C⁰₃ C¹₃ C²₃ C³₃ 1 3 3 1
C⁰₄ C¹₄ C²₄ C₄³ C⁴₄ 1 4 6 4 1
Bu erda har bir qatordagi sonlar (a+b)^m ko’phadning yoyilmasidagi binomial koeffisientlarga teng:

(a+b)⁰ =1

(a+b)¹ = a+b
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a+b)³ =a³+3a² b+3ab²
(a+b)⁴ = a⁴+4ab³b+6a²b²+4ab³+b³



Oxirgi formula Nyuton binomi deb yo’ritiladi. Aslida u ilgaridan Umar Xayyom asarlarida mavjud bo’lgan.