Ko’rsatkichli funksiya

Haqiqatan ham

bo’lgani uchun
(3) xossaga ko’ra

Ikkinchi tomondan, agarda bo’lsa, bu tenglikning ikkala tomonini ga ko’paytirsak ni hosil qilamiz. bo’lsa,

Bundan , ekani kelib chiqadi. Bu tenglikni yechsak larni hosil qilamiz. Shuning uchun

Agar qandaydir D soha tenglikni qanoatlantiradigan juftliklarni saqlamasa akslantirish bu D sohada bir varaqli bo’ladi.
Chunki tenglama z ga nisbatan bir qiymatli aniqlanadi. Bunday sohaga misol sifatida polosani olish mumkin .
Y
2π

O x
Bu polosadagi to’g’ri chiziq yoki

desak akslantirish natijasida nurga o’tadi. Xuddi shuningdek interval akslantirish natijasida bitta nuqtada kesilgan aylanaga o’tadi.
Xulosa. Demak polosa musbat yarim o’q chiqarib tashlangan tekislikka akslanar ekan. polosa esa yuqori yarim tekislikka akslanadi.
Trigonometrik va giperbolik funksiyalar
Trigonometrik hamda giperbolik funksiyalar ko’rsatkichli funksiyalar orqali kiritiladi.
Ta’rif 1.

Ushbu

,


,
ko’rinishdagi funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi. va W=Cosz funksiyalar butun ko’mpleks tekislik C da aniqlangan, W=tgz funksiya
\
to’plamda W=ctgz funksiya esa C\ to’plamda aniqlangan.
Quyidagiga ,



aniqlangan funksiyalar giperbolik funksiyalar deyiladi. Trigonometrik hamda giperbolik funksiyalar o’zaro quyidagi cosz=chz , sinz=–ish iz, thz=–itgiz, chz=cosiz, shz=–isin iz, cthz=ictg iz munosabatlar bilan bog’langan. Biz ulardan birini, masalan shz=–isin iz
bo’lishini ko’rsatamiz:

1. 
   va(2)munosabatlardan foydalanib topamiz:
   

Demak,

shz=–isin iz.

Biz quyida trigonometrik funksiyalarning ba’zi xossalarini keltiramiz
Ushbu
1)
2)
3)
4)
5)
Bu formulalarning o’rinli bo’lishini ko’rsatish qiyin emas. W=Sinz va W=Cosz funksiyalarning ta’riflaridan foydalanib topamiz:
qolgan tengliklar ham shunga o’xshash isbotlanadi.
W=Sinz toq funksiya,W=Cosz esa juft funksiya bo’ladi .
Bu xossaning o’rinli bo’lishini W=Sinz,W=Cosz funksiyalarning ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi .
Trigonometrik funksiyalar davriy bo’lib, W=Sinz, W=Cosz funksiyalarning davri 2 ga, W=tgz, W=Ctgz funksiyalarning davri esa  ga teng .
Haqiqatan , W=Sinz, funksiya ta’rifi hamda bo’lishini etiborga olib topamiz:
Demak,

Bu esa W=Sinz davriy funksiya va uning davri 2 ga teng bo’lishini bildiradi .
W=tgz funksiya ta’rifidan foydalanib, ushbu

tenglikka kelamiz.
Demak, tg(z+)=tgz .
Shunga o’xshash W=Cosz, W=Ctgz funksiyalarning davriy funksiya ekanligi ko’rsatiladi.

1. 
   W=Sinz va W=Cosz funksiyalar da hosilaga ega bo’lib (Sinz)=Cosz, (Cosz)=–Sinz, bo’ladi .
   

W=tgz funksiya da hosilaga ega bo’lib

bo’ladi.
W=ctgz funksiya da hosilaga ega bo’lib, ………………………………
bo’ladi.
Haqiqatan ham,


Xuddi shunga o’xshash (3) va (4) formulalarning to’g’riligi ko’rsatiladi.