Kvantorlar. Predikatlar ustida amallar

Predikatlar implikatsiyasi.
X to‘plamda aniqlangan A(x) va B(x) sodda predikatlar berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. A(x) predikat chin bo‘lib, B(x) predikat yo‘lg‘on bo‘lganda yolg‘on, qolgan barcha hollarda chin bo‘ladigan predikat A(x) va B(x) predikatlarning implikatsiyasi deyiladi va A(x) B(x) kabi bellgilanadi. Bu A(x) dan B(x) kelib chiqadi deb o‘qiladi. Bu holda B(x) predikat A(x) predikat uchun “zaruriy shart”, A(x) predikat B(x) predikat uchun “yetarli shart” deyiladi.
A(x) predikatning chinlik to‘plami T_A, B(x) niki T_B bo‘lsa, A(x) B(x) ning chinlik to‘plami T= bo‘ladi. U 4-chizmada shtrixlangan sohadan iborat. Masalan, X={ } to‘plamda A(x): “x ­– tub son”, B(x): “x – toq son” predikatlar berilgan. A(x) B(x) ning chinlik to‘plamini topaylik. Bu yerda T_A={13, 17, 19}, T_B={13, 15, 17, 19, 21}, ={12, 14, 15, 16, 18, 20} bo‘lib, T= ={12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21} bo‘ladi.

4 - chizma
Predikatlar ekvalensiyasi.
X to‘plamda A(x) va B(x) predikatlarning har ikkalasi yolg‘on va har ikkalasi chin bo‘lganda chin bo‘ladigan, qolgan hollarda yolg‘on bo‘ladigan predikat – bu predikatlarning ekvalensiyasi deyiladi va A(x) B(x) ko‘rinishida yoziladi. Uni “A(x) bilan B(x) teng kuchli” deb o‘qiladi.
A(x) va B(x) predikatlarning har ikkalasi ham chin bo‘lganda ekvalensiyaning chinlik to‘plami T_A T_B dan, ularning har ikkalasi ham yolg‘on bo‘lganda ekvalensiyaning chinlik to‘plami T_A T_B dan iborat bo‘ladi. Demak, bo‘lib, u 5-chizmada shtrixlab ko‘rsatilgan.
Agar A(x) va B(x) predikatlar X to‘plamda teng kuchli bo‘lsa, ya’ni, T_A=T_B bo‘lsa, u holda x X uchun A(x) B(x) ekvalensiya chin bo‘ladi. Masalan, A(x): “x natural son 10 ga bo‘linadi” va B(x): “x natural sonning o‘nli yozuvi 0 bilan tugaydi” predikatlarni qarasak A(x) B(x) ekvalensiya chin bo‘ladi. Chunki ularning har ikkalasi bir vaqtda chin yoki yolg‘on bo‘lganda ekvalensiyaning chinligi ko‘rinib turibdi. Masalan, x=120 bo‘lganda ikkala predikat chin, x=12 bo‘lganda ikkalasi ham yolg‘on.
Agar X to‘plamda A(x) va B(x) predikatlar ekvivalent bo‘lsa, ularning har biri ikkinchisi uchun zaruriy va yetarli shart bo‘ladi.

5-chizma