Laboratoriya jumisi №7 Tema : Mathcad de sızıqlı teńlemelerdi tarqatıp alıw usılları Isten maqset

Gauss metodı hám optimal joytıw metodın kórip shıǵamız. Optimal
joytıw metodı óz strukturası jixatidan Gauss metodına jaqın bolıwına qaramastan ol mashina yadınan effektiv túrde paydalanıwǵa múmkinshilik beredi hám sol sebepli xam bul metod járdeminde tártibi eki ret úlken bolǵan sistemanı sheshiw múmkin.
Gauss usılı. Bul metod bir neshe esaplaw sxemalarına iye. SHulardan biri - Gaussning kompakt sxemasın kurib chikamiz. Bul sistema berilgen bulsin:

Boljaw kilaylik, a11 ≠ 0 (jetekshi element) bulsin, hákis túrde teńlemelerdiń urnini almastırıp, x1 aldındaǵı koeffitsenti noldan farkli bolǵan teńlemeni birinshi urınǵa kúshiramiz. Sistema daǵı birinshi teńlemelerdi barlıq koeffitsentlarini a11 ge bolib,

Ni payda etemiz, bul jerde,

(2) teńlemeden paydalanıp, (1) sistemanıń kolgan teńlemelerinde x1 ni joytıw múmkin. Onıń ushın (2) teńlemeni izbe-iz a₂₁, a₂₂,... larga kupaytirib, uyqas túrde sistemanıń ekinshi, úshinshi hám x. k. teńlemelerinen ayiramiz. Nátiyjede, tómendegi sistema payda boladı :

Bul jerde a_ij ⁽¹⁾ koeffitsentler
Formula járdeminde esaplanadi. Endi (3) sistema ústinde xam soǵan uxshash almastırıwlar atqaramız.
Onıń ushın (3) sistema daǵı birinshi teńlemediń barlıq koeffitsentlarini jetekshi element a₂₂ ⁽¹⁾ ga bolib,
Ni payda etemiz, bul jerde

(4) teńleme járdeminde (3) sitemaning keyingi teńlemelerin yukoridagidek x₂ ni joǵatıp,

sistеmaga kеlamiz, bu еrda

Belgisizlerdi joytıw procesin dawam ettirib jáne bul processni m-qádemge shekem orınlaw múmkin dep shama menen oylaıp, m - qádemde tómendegi sistemaǵa iye bolamız :

bul jеrde

Shama menen oylayıq, m múmkin bolǵan aqırǵı qádemdiń nomeri bolsın. Eki qal bolıwı múmkin: m=n yamasa m
Sistemaǵa iye bulamiz. Aqırǵı sistemadan izbe-iz x_n, x_n−1,.. ., x₁ lardi tabıw múmkin:

(6 ) úshmúyeshlik sistemanıń koeffitsentlarini tabıw Gauss metodınıń tugri júriwi,
(7) sistemadan sheshimdi tabıw procesi teris júriw dep ataladı.
Boljaw kilaylik, m

Eger bunda barlıq azat xadlar am (i, n+1) (i = m + 1,.. ., n) nolǵa teń bulsa, ol túrde biz fakat birden-bir birinshi teńlemege iye bulamiz.

Barlıq qádem degi birinshi teńlemelerdi birlestirib, tómendegi sistemanı payda etemiz



Bul sistemadan biz x₁, x₂,.. ., x_m belgisizlerdi xm+1,.. ., xn belgisizler hám
azat xadlar járdeminde ańlatpalap alıwımız múmkin. Bul túrde (1) sistema sheksiz kup
sheshimge iye boladı.
Eger mm _{(i, m+1)} ≠ 0 (m+1≤i≤ n) bulsa, ol túrde (1) sistema sheshimge iye bolmaydı.
Qolda xisoblanayotganda qatege jol qoymaw ushın, esaplaw procesin kontrol etiw ma'kul bolıp tabıladı. Onıń ushın biz (1) matritsa qatarlarındaǵı elementler hám azat xadning yigindisidan dúzilgen kontrol

yigindidan paydalanamız.
Eger a_{i, n+2} larni (1) sistemanıń azat xadlari dep kabul kilsak, ol túrde almastırılǵan
Sistеmanin’ sheshimi (1) sistеmanin’ sheshimi x j Arqalı tómendegishe ańlatpalanadı :
Haqıyqattan da, (10 ) ni (9 ) sistemaǵa quysak, (1) sistema hám (8) formulaǵa kóre

Teńlikke iye bulamiz.
Eger qatar elementler ústinde orınlanǵan ámellerdi xar bir qatardaǵı kontrol yigindi ústinde xam atqarsak hám esaplawlar qátesinińz orınlanǵan bulsa, ol túrde kontrol yigindilardan dúzilgen ústindiń xar bir elementi uyqas túrde almastırılǵan qatarlar elementleriniń yigindisiga teń boladı. Bul qal bolsa tugri júriwdi kontrol etiw ushın xızmet etedi. Teris júriwde bolsa, kontrol x j larni tabıw ushın atqarıladı.
Teńlemeler sisteması kulda sheshilgende esaplawlardı 1-kestede kursatilgan Gaussning kompakt sxeması buyicha aparıw ma'kul bolıp tabıladı. Ápiwayılıq ushın kestede turtta belgisizli turtta teńlemeler sistemasın sheshiw sxeması keltirilgen.
Gauss metodı menen n ta belgisizli chizikli algebraik teńlemeler sistemasın sheshiw ushın atqarılatuǵın arifmetik ámellerdiń mikdori tómendegilerden ibarat. ta kóbeytiw hám bo’lıw ta qosiw.
Birden-bir bolıw kestesi.
1-keste

1. 
   1. MathCAD de teńlemeler sistemasın matritsa metodı menen sheshiw. Bizge tómendegi teńlemeler sisteması berilgen bolsın.
   

Teńlemeler sisteması (1) ni Ax = b kóriniste hám tómendegi ketma ketlikte yechamiz: