Matematik nazariyalar

4-§. Muavr-Laplasning lokal teoremasi
Agar ehtimollik nol atrofidagi son bo’lmasa va n etarlicha katta bo’lsa, u holda ehtimollikni hisoblash uchun Muavr-Laplas teoremasidan foydalanish mumkin.
Teorema; (Muavr-Laplas) Agar n ta bog’liqsiz tajribada A hodisaning ro’y berish ehtimolligi bo’lsa, u holda yetarlicha katta n larda
(4.1)
4.1-taqribiy formula o’rinli. Bu yerda funksiya Gauss funksiyasi deyiladi (4.1-rasm).


4.1-rasm.
funksiya uchun x argument qiymatlariga mos qiymatlari jadvali tuzilgan. Jadvaldan foydalanayotganda quyidagilarni e‘tiborga olish kerak:
1) funksiya juft funksiya, ya‘ni
2) agar bo’lsa, deb olish mumkin.
4.1-misol. Bitta o’q otilganda o’qning nishonga tegish ehtimolligi 0.7 ga teng. 200 ta o’q otilganda nishonga 160 ta o’q tegishi ehtimolligini toping. Bu yerda (1.5) ga ko’ra
Agar ekanligini hisobga olsak, u holda
.
5-§. Muavr-Laplasning integral teoremasi
Agar n yetarlicha katta va A hodisa n ta tajribada kamida m₁ va ko’pi bilan m₂ marta ro’y berish ehtimolligi ni topish talab etilsa, u holda Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanish mumkin.
Teorema. (Muavr-Laplas) Agar A hodisaning ro`y berish ehtimolligi o`zgarmas bo’lsa u holda
(5.1)
taqribiy formula o’rinli, bu yerda
(5.1) formuladan foydalanilganda hisoblashlarni soddalashtirish uchun maxsus funksiya kiritiladi:
(5.2)
(5.2)-Laplas funksiyasi deyiladi.

5.1-rasm.

funksiya toq funksiya:

Agar x 5 bo’lsa, u holda =0.5 deb hisoblash mumkin;
funksiya grafigi 5.1-rasmda keltirilgan.
(5.1) dagi tenglikning o’ng qismini funksiya orqali ifodalaymiz:
(5.3)
-Laplasning funksiyasi bilan bir qatorda Gauus funksiyasi deb nomlanuvchi funksiyadan ham foydalaniladi:
. (5.4)
Bu funksiya uchun tenglik o’rinli va u funksiya bilan
(3.5)
formula orqali bog’langan.
5.1-misol. Sex ishlab chiqargan mahsulotiningo’rtacha 96% isifatli. Bazada mahsulotni qabul qilib oluvchi sexning 200 ta mahsulotini tavakkaliga tekshiradi.
Agar tekshirilgan mahsulotlardan sifatsizlari soni 10 tadan ko’p bo’lsa butun mahsulotlar partiyasi sifatsiz deb, sexga qaytariladi. Mahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtimolligini toping.
Bu yerda n=200, p=0.04(mahsulotning sifatsiz bo’lish ehtimolligi), q=0.96, m₁=0, m₂=10 va mahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtimolligi
ni (3.3) formula orqali hisoblaymiz.
, ,

Agar funksiyadan foydalansak,

Laplas funksiyasi yordamida n ta bog’liqsiz tajribada nisbiy chastotaning ehtimollikdan chetlashishi ehtimolligini hisoblash mumkin.
Biror son uchun
(5.6)
tenglik o’rinli.
Haqiqatan ham, buni isbotlash uchun tengsizlik ehtimolligini hisoblash kerak. Bu uchun bu tengsizlikni unga teng kuchli va tengsizliklar bilan almashtiramiz. Bu tengsizliklarni musbat songa ko’paytiramiz:

Agar belgilashni kiritsak, u holda (5.6) formulaga asosan:
5.2-misol. Detalning notandart bo’lish ehtimolligi 0.6 ga teng. N=1200 ta detal ichida nostandart detallar bo’lishi nisbiy chastotasinig p=0.6 ehtimollikda chetlashishi absalyut qiymati dan katta bo’lmasligi ehtimolligini hisoblang.
(5.6) ga asosan