Ministério da educação secretaria de educação básica

36
<
linguagem e argumentação na matemática 
para o Ensino Médio
>
Nos tempos modernos, o desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos ocorreu paralelamente 
à criação de uma linguagem distinta da linguagem comum, com simbologia específica e “regras gra-
maticais” apropriadas para o discurso mais preciso. É comum usar-se a expressão 
linguagem formal 
da Matemática
 para se referir a tal linguagem, embora devamos estar atentos ao fato de que o termo 
‘formal’ pode ser entendido de modo muito diversificado.
Na medida em que a complexidade dos conhecimentos foi aumentando, a linguagem formal da Ma-
temática foi se tornando cada vez mais necessária para expressar devidamente as noções dessa ci-
ência. Além disso, hoje em dia, parte dessa linguagem é utilizada pelas mídias e nas práticas sociais, 
tornando-se importante que todo o cidadão domine adequadamente o seu uso e os seus significa-
dos, não apenas para fazer Matemática, mas para o exercício pleno da cidadania. Outro consenso é 
que a escola deve procurar desenvolver, com o estudante, a capacidade de entender e de empregar 
a argumentação do tipo lógico-matemático.
Embora o aprofundamento da linguagem formal da Matemática e da argumentação lógico-matemáti-
ca não seja requerido, no Ensino Médio, tem sido reiterada a relevância dessas competências na for-
mação integral dos jovens, como parte de sua preparação básica: tanto para continuidade de estudos 
em ciência pura ou aplicada, quanto para ampliar as possibilidades de participação mais eficaz no 
mundo do trabalho e permitir o exercício pleno da cidadania. Com isso, pretende-se cumprir as três 
finalidades fundamentais previstas para o Ensino Médio.
Nas coleções aprovadas no PNLD 2018, ainda é preciso aperfeiçoar bastante o emprego da linguagem 
formal e o uso da argumentação matemática. A seguir, apontamos alguns aspectos que merecem especial 
atenção do docente, especialmente porque podem contribuir para tornar o aprendizado mais significativo.
Um primeiro tema a ser focalizado é o emprego do sinal de igualdade. A igualdade é uma relação 
fundamental, representada pelo conhecido símbolo ‘=’. Escrever ‘
a = b
’ é, basicamente, afirmar que 
a
 e 
b
 são representações simbólicas distintas para um mesmo objeto matemático. Assim, o sinal de 
igualdade nos diz que 
a
 e 
b
 são “nomes” diferentes referidos à mesma “coisa”. Portanto, incorremos 
em mau uso do símbolo ‘=’ quando escrevemos: π = 180. Com efeito, o estudante pode ser induzido à 
ideia errônea de que os números π 
e 180
 são iguais, o que é impossível, pois o primeiro é um número 
irracional e o segundo é um inteiro. O que deveríamos escrever é π rad = 180o, cujo significado é o 
de ser a igualdade entre dois valores da mesma grandeza, a amplitude de um ângulo, medida nas 
unidades radiano e grau, respectivamente.
Em outra situação, também é incorreto escrevermos: π = 3,14. De fato, um número irracional não pode 
ser igual a um número racional. Na Matemática e em suas aplicações, é sempre possível empregar, 
neste caso, a representação π 
≅
 3,14. Com isso, indicamos que o segundo termo é uma aproximação 
numérica racional do número irracional 
≅
.

---

37
Outro tópico relevante diz respeito ao ensino do método axiomático. Os primeiros registros do seu 
emprego remontam à antiguidade grega e, em lenta evolução, esse método foi se tornando o padrão 
de rigor lógico da Matemática. No século XIX, seu desenvolvimento passou pela retomada da discus-
são sobre paradoxos e pelo reestudo dos fundamentos da Matemática.
É importante para a formação geral no Ensino Médio, que os estudantes tenham oportunidade de um 
contato, não exaustivo, mas significativo, com o método axiomático das validações matemáticas. Essa 
seria uma boa maneira de favorecer, em aulas de Matemática, o desenvolvimento do que é usualmen-
te chamada de “argumentação lógica”.
Uma teoria axiomática envolve objetos de algum universo abstrato particular, que podem ser figuras 
geométricas, números ou, mais geralmente, elementos de conjuntos abstratos. Partimos de 
objetos 
primitivos
, não definidos, aos quais atribuímos um nome (exemplos: ponto, reta, plano, variável, 
constante, conjunto, conjunto vazio). Ao lado disso, há as relações denominadas 
axiomas
 (ou 
postu-
lados
), entre tais objetos e que não são demonstradas. Inevitavelmente os nomes dos objetos pri-
mitivos são “influenciados” pelos significados ligados ao seu uso na linguagem natural. No entanto, 
tais significados não importam para o seu uso na teoria axiomática. Os axiomas é que vão regular o 
uso dos objetos primitivos no corpo da teoria. Dessa forma, os axiomas determinam as proprieda-
des suficientes para o funcionamento das relações básicas entre os objetos primitivos. Em seguida, 
sequências de dedução lógica permitem definir outros objetos e demonstrar proposições que vão, 
progressivamente, compondo uma teoria axiomática.
Nesse processo, as demonstrações (ou deduções) são sequências de proposições matemáticas, nas 
quais qualquer uma delas é um axioma ou uma proposição que decorre logicamente de proposições 
já demonstradas anteriormente. O último elemento dessa sequência é a proposição alvo da demons-
tração, que comumente chamamos de teorema.
Frequentemente, o teorema desejado é uma proposição do tipo: “Se