Ministério da educação secretaria de educação básica

estatística e probabilidade
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Os conhecimentos estatísticos, como é sabido, são cada vez mais necessários no cotidiano das pes-
soas. Suas aplicações são importantes nos vários ramos da tecnologia e das ciências exatas, naturais 
ou humanas. Em qualquer um deles, os resultados obtidos e as conclusões apresentadas baseiam-se 
em modelos que, por serem uma simplificação da realidade, são constantemente aperfeiçoados ou 
mesmo atualizados. A decisão de quais itens incluir, ou não, em um modelo, bem como a necessi-
dade de trabalharmos com amostras ao invés de populações, implicam incerteza nas conclusões 
relativas a um evento. Essa incerteza permeia o raciocínio estatístico e é medida pela probabilidade 

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de ocorrência do evento em foco. É consenso entre os educadores que o estudo dessa condição de 
não determinismo no campo da estatística deve estar presente no cotidiano escolar, desde a escola 
básica, para formarmos cidadãos críticos e com autonomia de pensamento.
De modo sintético, o ciclo completo de uma pesquisa estatística é iniciado com uma questão de 
interesse, seguida das seguintes etapas: planejamento de pesquisa e/ou experimento; definição ade-
quada da população e da amostra; coleta e organização de dados; análise descritiva, que inclui as 
análises gráficas e/ou tabulares, as distribuições de frequência e as medidas de tendência central e 
de dispersão, bem como outras análises pertinentes. Sua finalização acontece com tomadas de deci-
são em relação à questão inicial. Para essa conclusão, é possível construir, quando pertinente, uma 
análise de inferência formal por meio de argumentos de natureza probabilística.
No entanto, na escola básica, o que se pretende é o desenvolvimento de quase todas as etapas do 
citado ciclo, incluindo a parte descritiva. Com respeito ao desenvolvimento da inferência formal, esta 
deve ser postergada para outras etapas da escolaridade (pelo menos no atual estágio), dando lugar, 
no Ensino Médio ao que está sendo chamado, na literatura especializada, de inferência informal. Esta 
última encaminha sugestões sobre o possível comportamento das populações envolvidas, com base 
em argumentos sobre a análise dos resultados encontrados. As coleções aprovadas vêm abordando 
etapas do ciclo de pesquisa apropriadas ao Ensino Médio, mas há muito a evoluir no cumprimento 
adequado de todas essas etapas e, ainda mais, em propiciar ao estudante um entendimento integra-
do do mencionado ciclo.
Discute-se, na comunidade acadêmica, se é natural a estatística fazer parte  dos currículos da Mate-
mática no Ensino Médio. Porém, ao analisarmos as etapas do ciclo descrito acima, percebemos que 
alguns de seus componentes podem ser inseridos naturalmente na Matemática, mas, que outros, de 
natureza interdisciplinar, teriam espaço em outras instâncias e/ou componentes curriculares. Aceita 
essa observação, a estatística deveria extrapolar as amarras do componente curricular e ser uma 
ferramenta importante em projetos integrados com Sociologia, Biologia, Física, entre outros. Dessa 
forma, haveria mais possibilidades de se ampliar o leque de opções de aplicações em que o estudan-
te pudesse questionar a realidade e aplicar o ciclo de análise estatística. A elaboração de projetos 
daria sentido a esse pensamento. Com esse objetivo, o Manual do Professor de muitas coleções traz 
propostas que podem ser levadas para a sala de aula, com grande proveito para o processo de ensino 
e aprendizagem.
Gráficos e tabelas são muito comuns nos livros didáticos para o ensino básico e alguns deles reser-
vam capítulos específicos aos estudos mais detalhados dessas representações. Muitos livros didáti-
cos para o Ensino Médio apresentam uma grande quantidade de gráficos e de tabelas produzidos na 
mídia. Embora presentes em algumas obras, são menos frequentes as propostas de coleta de dados 
pelos próprios estudantes, seguida da correspondente análise desses dados. Além disso, nem sem-
pre é conduzido um estudo crítico adequado desses instrumentos de organização e de comunicação 
de informações, como se comenta nos parágrafos seguintes.

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Os gráficos presentes nas obras raramente são acompanhados da discussão de aspectos importantes 
associados à análise descritiva, como: o grupo pesquisado (se é uma amostragem ou uma pesquisa 
censitária); a classificação da variável analisada (quantitativa ou qualitativa); a opção por trabalhar 
com frequência absoluta ou relativa e suas consequências; a escolha de escalas adequadas para os 
eixos; e as variáveis que estão sendo relacionadas em um mesmo gráfico.
Um tipo de representação gráfica que é frequente na estatística é o 
histograma
, que deve ser usado 
somente para variáveis quantitativas cujos valores estão dispostos em classes. Um histograma não é 
um gráfico de barras, que é uma das representações apropriadas para variáveis qualitativas. Um his-
tograma é um gráfico com retângulos justapostos, cuja base (no eixo das abscissas) representa o in-
tervalo de classe associado à variável e a altura (no eixo das ordenadas) é proporcional à frequência 
de classe. O emprego de um histograma requer uma discussão da eventual necessidade de trabalhar-
mos com diferentes valores na ordenada – frequência absoluta, frequência relativa ou densidade.
Como já foi dito, são pouco frequentes, nas obras, atividades que incentivam a análise crítica de 
representações de dados usadas na mídia ou em divulgação de pesquisas científicas. Igualmente, 
sentimos falta de comparações com outras formas de representação de dados e de uma crítica de 
possíveis interpretações equivocadas.
No Ensino Médio atual, observamos uma preferência pela caracterização de 
média, mediana 
e
 moda, 
como medidas de tendência central. Além dessa caracterização de uso corrente, há também a prática de 
chamá-las de medidas de posição, no sentido de poderem ser posicionadas diretamente no mesmo eixo 
em que as medidas são registradas. Esta última forma parece ajudar mais o estudante na compreensão 
do caráter da medida e de sua relação com os dados observados. O cálculo de medidas descritivas de-
veria ser analisado à luz do raciocínio estatístico e não meramente por meio dos resultados numéricos. 
Aprender técnicas de cálculo sem ser capaz de interpretar seus resultados é enfadonho e desnecessário.
Por exemplo, no caso de medidas de posição, o papel da mediana nem sempre é destacado nas obras 
didáticas como uma alternativa ao uso da média. Na verdade, a mediana é mais representativa do que 
a média para resumir dados notadamente assimétricos e temos uma possível indicação de simetria dos 
dados quando média e mediana coincidem. Como a média é muito influenciada por valores extremos, a 
mediana é uma substituta natural quando tal assimetria ocorre. É fundamental para o entendimento da 
mediana, enfatizarmos que ela é uma medida em que intervém a ordem, mas a menção de que os dados 
devem estar ordenados antes de seu cálculo nem sempre está explícita, para facilitar o entendimento 
do estudante. Outras medidas de posição, como quartis e percentis, não são exploradas no Ensino Mé-
dio e, entretanto, poderiam ser uteis na elaboração da inferência informal.
Ainda para variáveis quantitativas, são definidas as chamadas medidas de dispersão, que caracterizam 
a variabilidade presente nos dados. A mais simples das medidas, de imediato entendimento por parte 
dos estudantes, é a amplitude (diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados), raramente 
mencionada nos livros didáticos. Notamos que essa medida é usada em algumas coleções como mero 
instrumento para calcular o comprimento e o número de intervalos de classe de uma variável quanti-

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tativa, para a construção de um histograma. Mas depois, na grande maioria dos casos, não se volta a 
ela como medida de dispersão. Não se trata de eleger a amplitude como a melhor medida de dispersão 
(ela tem fragilidades, como a de ignorar o 
miolo
 dos dados) e, sim, de iniciar o estudo com uma ideia 
intuitiva de variabilidade para iniciar a abordagem do tema.
Mesmo quando é feito o estudo da variância, do desvio padrão ou do desvio médio absoluto, suas 
interpretações não são valorizadas. Assim, esse estudo costuma ser reduzido a técnicas operatórias, 
com pouca discussão de seus significados para a compreensão dos dados. Somente em algumas 
obras didáticas para o Ensino Médio tem sido abordado o coeficiente de variação, uma medida de va-
riabilidade relativa muito útil para comparar dispersão em conjuntos com médias diferentes. E mais: 
também no que se refere à análise descritiva, a profusão de exercícios é desnecessária.
No estudo da probabilidade, há pontos positivos em algumas obras didáticas, como maior cuidado 
na abordagem dos conceitos básicos e preocupação em associá-los a problemas reais e sugestivos. 
No entanto, por vezes, peca-se pelo exagero de exercícios com contextualizações inadequadas, ou 
demasiadamente artificiais, quando poderiam ser sugeridas, por exemplo, simulações em sala de 
aula (com lápis e papel ou com recursos tecnológicos, caso disponíveis) que enriqueceriam e motiva-
riam os cálculos posteriores de probabilidade.
Embora ainda observemos que o estudo da probabilidade é precedido pelo estudo da análise com-
binatória, já são menos frequentes nas coleções capítulos longos e fragmentados sobre o tema. É 
certo que a contagem de possibilidades é uma ferramenta essencial para o estudo da probabilidade. 
No entanto, o estudante não deve ser levado a pensar que entender o conceito de probabilidade de-
pende dessa preparação. Em contrapartida, os diagramas de árvore poderiam ser usados, em vários 
momentos em que o espaço amostral é pequeno, para facilitar a compreensão do estudante.
Quanto à definição de probabilidade, algumas obras trazem tanto a clássica quanto a frequentista, 
o que demonstra um entendimento positivo sobre a necessidade de obtermos definições que não 
tenham a limitação da definição clássica.
Em relação às noções básicas de probabilidade, observamos que, frequentemente, no Ensino Mé-
dio, não é apresentada, de maneira apropriada, a noção de independência probabilística entre dois 
eventos definidos em um mesmo espaço amostral. Nesse caso, é conveniente, antes da abordagem 
de independência, estudarmos o conceito de probabilidade condicional, e definirmos independência 
a partir da condicional. Há uma inversão que, apesar de não ser muito adequada, é muitas vezes 
encontrada: a de se “assumir”, a priori, que há independência entre os eventos e, então, aplicar a 
definição para cálculo da probabilidade.
O estudo da probabilidade e da estatística busca contribuir para o entendimento da realidade. Assim, 
é necessário que seu estudo permita ao estudante conhecer os pontos fortes da área e suas limi-
tações e tenha claro que não há espaço para raciocínio determinístico em muitas decisões que, em 
última análise, afetam nossas vidas.

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