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terminados pelas três retas nas retas
t
e
u
são proporcionais, então as três retas são paralelas, duas
a duas”. Tal proposição é falsa. De fato, como contraexemplo dessa recíproca podemos considerar
o vértice
A
, oposto à base de um triângulo isósceles, e tomar para
r
1
,
r
2
e
r
3
as retas que passam no
ponto
A
e são determinadas pelos dois lados e pela altura desse triângulo. Essas retas não são para-
lelas,
mas determinam, em quaisquer duas retas paralelas à base do triângulo, segmentos de mesmo
comprimento e, portanto, de mesma razão, igual a 1.
Quando podemos demonstrar tanto a proposição “Se
P
, então
Q
” quanto a sua recíproca “Se
Q
, então
P
”, dizemos que as proposições
P
e
Q
são logicamente equivalentes. Na linguagem formal da Mate-
mática escrevemos: “
P
se, e somente se,
Q
”. No que se refere à teoria axiomática em jogo,
podemos
utilizar qualquer uma das duas proposições
P
ou
Q
nas deduções dessa teoria.
Na abordagem desse tema, o fato de que a proposição e sua recíproca são verdadeiras, não nos dispen-
sa de mencionarmos,
para os estudantes, suas demonstrações. Por exemplo, tomemos a proposição: “Se
uma matriz quadrada é invertível, então seu determinante é diferente de zero”. A prova dessa proposi-
ção é apresentada nos livros didáticos. Sua recíproca também é verdadeira: “Se o determinante de uma
matriz quadrada é diferente de zero, então a matriz é invertível”. No entanto,
por vezes, a demonstração
dessa recíproca não é sequer mencionada. O que agrava essa omissão é que, em seguida, passa-se a
empregar a proposição recíproca na resolução de problemas. Induz-se, dessa forma, à confusão
entre
uma proposição e sua recíproca, o que é prejudicial para a aquisição da argumentação matemática.
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