Mühazirə kursu а з я р бай ж ан р е с публика

y

x
Şəkil 5.1

Nyutonun ikinci qanununa görə onların hərəkət tənliklərini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

d ²r^→ _

m m ^→

, (5.1)

_m 1
¹ dt²
1 2 _r21


r
21

G
d ²r^→ _{ }

m m ^→
. (5.2)

_m 2
² dt²
1 2 _r21


r
21

Məsələni daha asan yolla həll etmək üçün yuxarıda yazılmış hərəkət tənliklərindən birincini m₁-ə, ikincini m₂-yə bölüb, ikincidən birincini çıxaq:
^{d 2 (r→  r→ ) } 1 1 ^{ m m} →


^{2 1}  ^  ^G ^{1 2} r .

dt ²
 _{m m} 
_{r 3} 21

 1 2  ₂₁

Burada
r^→  r^→  r^→
olduğunu nəzərə alaq,
1 _ 1 _ 1

2 1 21
 m₁ m₂

əvəzləməsini edək və tənliyi aşağıdakı şəkildə yazaq:
_ d ²r^→ _{ } m m →

21 _G 1 2 _r
. (5.3)

dt ²
_{r 3} 21

21
Alınan tənliyə yalnız bir məchul daxildir, yəni axırıncı ifadə bir cismin hərəkət tənliyidir. Beləliklə iki cisim məsələsi bir cisim məsələsinə gətirilmiş olur. Burada  kəmiyyəti gətirilmiş kütlə adlanır. Onun ədədi qiyməti qarşılıqlı təsirdə olan cisimlərin ən kiçiyinin kütləsindən kiçik olur. Bu isə o

deməkdir ki, iki cisim məsələsində sistemin ətalətliliyi ayrı-ayrı cisimlərə nisbətən daha az olur.

2. 
   Kepler qanunları. Kepler planetlərin hərəkətini öyrənərək aşağıdakı qanunları vermişdir:
   

1. 
   Bütün planetlər fokuslarından birində Günəş yerləşən ellipslər üzrə hərəkət edirlər. Şəkil 5.2-də ixtiyari K planetinin ellips boyunca hərəkəti, S₁ və S₂ ellipsin fokusları, S₁ fokusunda G Günəş, a və b ellipsin yarımoxları, P və A planetin Günəşə ən yaxın (Periheliy) və ən uzaq (Aseliy) nöqtələri, r ilə planetin Günəşdən olan məsafəsi və  ilə onun
   

polyar bucağı göstərilmişdir.


Şəkil 5.2

Mərkəzi Günəşdə yerləşən sistemə nəzərən planetin trayektoriyası

r  ^P
1  cos
tənliyi ilə ifadə olunur. Burada
(5.4)

– ortbitin parametri,
_L2


^P Gm²M


 
(5.5)
(5.6)

isə onun eksentrisiteti adlanır.

Şəkildən və trayektoriya tənliyindən görünür ki, planetin Günəşdən minimum (   0 ) və maksimum (   ) məsafələr
58

yarımoxlar isə
^rmin
_ P
1 
^{və r}max
_ P
1 
, (5.7)

_{a } Gm M
və b  ¹

düsturları ilə hesablanır. Burada m və M- uyğun olaraq planetin və Günəşin kütləsi, E və L– isə planetin tam enerjisi və impuls momenti, G – isə qravitasiya sabitidir.

2. 
   Planetin radius-vektoru bərabər zamanlarda eyni sahələr cızır. Şəkil 5.3-də r radius vektorunun dt müddətində cızdığı sahə göstərilmişdir. Bu sahəni təqribi olaraq üçbucaq kimi qəbul etmək olar. Onun hündürlüyü r, oturacağı isə planetin  sürətilə dt müddətində getdiyi yoldur.
   

Onda üçbucağın sahəsi
Şəkil 5.3


dS  ¹ dt  r
2
olar. Bu ifadəni

planetin kütləsinə vurub və bölək, momenti L ilə işarə edək. Onda
m  r
hasilini impuls

dS 
^L dt və ya
2m
dS _ L
dt 2m
(5.8)

alınar. Planetin kütləsi və impuls momenti sabit olduğundan
^dS də sabit olmalıdır. Beləliklə, isbat olunur ki, radius-
dt
vektorun bərabər zamanlarda cızdığı sahələr eyni olur.

3. 
   Planetlərin Günəş ətrafında fırlanma periodlarının kvadratları nisbəti onların böyük yarımoxlarının kubları
   

nisbətinə bərabərdir. Planet bir dövr etdikdə onun radius- vektoru tam ellips sahəsi cızır. Elementar sahəni inteqrallayaraq ellipsin sahəsini tapaq
^t L L

0
S  _{ 2m} dt  _2m T
Bu sahə yarımoxlarla ifadə olunmuş
S  ab
sahəsinə

bərabər olmalıdır, yəni
^L T  ab .
2m

Yarımoxların Keplerin I qanununda verilmiş ifadələrini yerinə yazıb, alınan ifadəni sadələşdirsək

T ² _ 4 ²
a³ GM
(5.9)

alarıq. Göründüyü kimi sağ tərəf sabit kəmiyyətlərdir, deməli sol tərəf də bütün planetlər üçün sabit olmalıdır.
İlk yaxınlaşmada planetin trayektoriyasını çevrə qəbul etmək olar. Onda ellipsin yarımoxu çevrənin radiusu olacaqdır. Yəni bu halda planet mərkəzində Günəş yerləşən çevrə üzrə hərəkət edəcəkdir. Çevrə üzrə hərəkət edən planet üçün axırıncı düsturu
4 ² _ GM
_T 2 _r3
şəklində yazaq və hər tərəfi mr hasilinə vuraq, onda

4 ²
m _{T 2}
r  G ^mM
_r 2
(5.10)

Bu ifadənin sol tərəfi mərkəzəqaçma qüvvəsi, sağ tərəfi isə planetlə Günəş arasındakı qarşılıqlı təsir qüvvəsi olub cazibə qüvvəsi adlanır. Nyuton bu qüvvəni ixtiyari maddi nöqtələrin qarşılıqlı təsiri üçün ümumiləşdirərək ümumdünya cazibə qanununu vermişdir: kütlələri m₁ və m₂ olan iki maddi nöqtə onların kütlələri hasili ilə düz, aralarındakı məsafənin kvadratı ilə tərs mütənasib olan qüvvə ilə bir-birini cəzb edirlər.
60

→
F  G ^{m m
r}→ . (5.11)

F
→

3. 
   İş v_→ə güc. Müəyyən qüvvəsinin təsiri altında cisim
   

elementar dr yerdəyişməsi icra edirsə, onda deyirlər ki, qüvvə

dA
elementar ^→ işi görür (şəkil 5.4).


Şəkil 5.4


_→ Qüvvə vektorunu iki toplanana ayırmaq olar, onlardan biri
F_ istiqamətinə görə yerdəyişmə vektoru ilə üst-üstə düşür,

digər
→
F_n toplananı isə ona perpendikulyardır.
Aydındır k_→i, cisimi hərəkət etdirə bilən və beləliklə iş görə

bilən toplanan
F_ -dır. Beləliklə, elementar iş
dA  F_ dr  F cosdr

(5.12)

burada α-elementar yerdəyişmə və qüvvə vektoru arasındakı bucaqdır.
Bir halda ki, iki vektorun skalyar hasili onların modullarının onlar arasındakı bucağın kosinusu hasilinə
bərabərdir, onda _{→ →}

dA  Fdr cos  Fdr
(5.13)

Hərəkətin bütün trayektoriyası boyunca işi təyin etmək üçün hər bir elementar hissədəki işi cəmləmək lazımdır

2 2 _{→ →}

A  _ dA  _ Fdr
(5.14)

1 1
BS-də iş vahidi olaraq yerdəyişmə istiqamətində təsir edən bir nyuton qüvvənin bir metr yolda gördüyü iş qəbul edilmişdir. Bu vahid coul (C) adlanır 1C  1N 1m .
Vahid zamanda görülən iş _→güc adlanır_→: _→

P  dA/ dt  Fdr^→ / dt  FV
(5.15)

BS-də güc vahidi vatt (Vt) qəbul edilmişdir- bu elə gücdür ki, bir saniyədə bir coula bərabər iş görülsün, yəni 1Vt=1C/1san. Qeyd edək ki, texnikada bəzən 736 Vt bərabər olan və at
qüvvəsi (a.q.) adlanan güc _→vahidindən istifadə edilir.

3. 
   Kinetik enerji. F əvəzləyici qüvvəsinin təsiri altında
   

hərəkət edən m kütləli maddi nöqtə üçün hərəkət tənliyini
yazaq: _{→ →}

mdV / dt  F
(5.16)

_→ B_→u bərabərliyin sağ və sol tərəfini nöqtənin elementar

_ →
dr  Vdt
yerdəyişməsinə_→skalya_→r olara_→q vuraq, onda
m(dV / dt)Vdt Fdr

(5.17)

Bir halda ki,
→ → _{ V 2}
onda asanlıqla göstərə bilərik ki,

→ → ^VV

VdV / dt  d (V ² / 2)/ dt.
Axırıncı bərabərlikdən istifadə

edərək və maddi nöqtənin kütləsinin sabit olduğunu nəzərə
alaraq (5.17)-ni bu şəkildə yazaq d mV ² / 2/ dt ^{→ →} . Bu
Fdr bərabərliyin hər tərəfini zərrəciyin trayektoriyası boyunca 1 nöqtəsindən 2 nöqtəsinə qədər inteqrallasaq alarıq:
2   ²   2 ^{→ →}
_ d mV / 2 / dt _Fdr
1 1
Ibtidai funksiyanın təyininə əsasən və dəyişən qüvvənin işi üçün alarıq:
62

mV ²  V ² / 2  A W  mV ² / 2  p² / 2m

(5.18)

2 1 12 K
kəmiyyəti maddi nöqtənin kinetik enerjisi adlanır. Beləliklə, aşağıdakı ifadəni alırıq

^A12 ^{ W}K 2 ^{ W}K1
(5.19)

Göründüyü kimi maddi nöqtəyə təsir edən bütün qüvvələrin əvəzləyicisinin işi bu zərrəciyin kinetik enerjisinin artmasına sərf olunur. Alınmış nəticəni çətinlik çəkmədən ixtiyari maddi nöqtələr sistemi halı üçün ümumiləşdirə bilərik.
Sistemin təşkil olunduğu maddi nöqtələrin kinetik enerjilərinin cəmi sistemin kinetik enerjisi adlanır:
n
W  m V ² / 2 .
K ^ i i
i 1
(5.19) ifadəsini sistemin hər bir maddi nöqtəsi üçün yazaq, sonra isə onları toplayaq. Nəticədə yenə (5.19)-a analoji, lakin maddi nöqtələr sistemi üçün ifadə alarıq:

^A12 ^{ W}K 2 ^{ W}K1
burada W_K1və W_{K 2} - sistemin kinetik enerjisi,
(5.20)
A₁₂ -isə maddi

nöqtələr sisteminə təsir edən bütün qüvvələrin işinin cəmi kimi başa düşülməlidir. Beləliklə, belə bir teoremi isbat etmiş olduq: maddi nöqtələr sisteminə təsir edən bütün qüvvələrin işi bu sistemin kinetik enerjisinin artımına bərabərdir.

3.