Nazariy fizika kursi

6
. Quyidagi operator tenglamalarni tekshirib chiqing:
ta ’sirining n atijasi aniqlansin.
8
. Agar 
A va 
в operatorlar ermit operatorlari bo ‘Isa, и holda 
A+B
va 
AB+BA 
operatorlam ing ermitligi ham 
ко 
‘rsatilsin.
9. 
м х, й у,м . 
opera to rla m in g erm itligidan kelib chiqqan holda
M2 opera to m in g erm itligi ко 'rsatilsin.
10. 
Agar 
A va 
в operatorlar o'z-o 'zig a kommutativ operatorlari
bo ‘Isa, и holda quyidagi munosabatlar to ‘g ‘riligi isbotlansin.
2.10. II bobga oid savol va masalalar
„ I
d
, 
d
a) — x
= l+x—
-----
Л —
I T A------ 
f
dx 
dx
va 
e2' funksiyalarga
86

---

a)
(л + s )1 
= а
1
 + 
2
АВ+В1;
b)['а+ в){а-в) = а
1
- в 2.
11. Masala. Statsionar holatidagi diskret spektrda joylashgan
zarracha impuls proyeksiyasining 
o'rtacha qiymati nolga tengligi
isbotlansin.
Eslatma. H va x operatorlarining kommutatori orqali berilgan px
operatori qiymatidan foydalanish kerak.
Yechish. M a ’lumki, 
H x - x f t
= - —pK, shuning uchun
m
p t
=
j y / ' p f\j/dx
= 
J
{ф’Нху
- y ' x H y f
)cfc .
Gamiltonianning ermitligi hisobga olinsa integral ostidagi ifodani
quyidagicha yozish mumkin:
хц/Ну'-xy 'H y
= 
0 ,
chunki Нцг’ =Ец/’ va Нцг = Ец/.
12. Quyidagi operatorlam ing xususiy funksiyalari va xususiy
qiymatlari topilsin:
a) 
- i — , 
agar y(x)=y(x+a) (bunda 
a 
- o'zgarm as kattalik);
dx
b) 
agar
x = 
0
va x = l da у = 
0
bo'Isa.
dx
13. Masala.
M
2
impuls 
moment 
kvadrati 
operatorining
Y(0,(p)
= (cos0 + 2sm6 coscp) 
xususiy funksiyasiga mos kelgan M
2
 impuls
moment kvadrati operatorining xususiy qiymati topilsin.
Yechish: M a ’lumki 
M 2Y 
= 
M 2Y 
xususiy funksiyalar va xususiy
qiym atlam i aniqlash munosabatdan foydalansak va
mV 
1 
Э , . -ЭЧ' 
1 
№
M
-= ~ n
I - r ^ r — (sin g — ) + -
T -
.
J
sin0 
дв 
дв
sin2 в Э
(p
2
J
ekanligini 
hisobga 
olinsa, 
ushbu 
o p era to m i
Y(0,(p) ~(cos6 +2sm6coscp) funksiyaga t a ’siri natijasida
M 2Y - 2 t i 2
(cos0 + 2sin0cos)
kelib chiqadi. Demak, impuls moment kvadrati operatorining xususiy
qiymati M
2
=
2ft2 
ga teng bo ‘ladi.
87

---

14. Masala. 
y/(x) — A e 2a 
funksiya 
orqali 
ifodalangan
zarrachaning 
koordinatasi 
va 
impulsining 
о ‘rtacha 
qiymatlari
aniqlansin.
mos holda zarrachaning koordinatasi va impulsining 
о ‘rtacha
qiymatlarini hisoblash mumkin.
D em ak zarracha koordinatasining о ‘rtacha qiymati
x = 
0
va zarracha
impulsining о ‘rtacha qiymati p
= 
hk
0
ga teng ekan.
15. Kvant mexanikasida sistemaning holati qaysi y o l bilan beriladi?
16. Kvant mexanikasida qanday operatorlar:
a) Koordinata;
b) Impuls;
d) dekart koordinatarida м. impuls momentning proyeksiyasi;
c) sferik koordinatarida M, impuls momentning proyeksiyasi;
f)sferik koordinatarida
M2 
impuls momentning kvadratiga 
mos
keladilar?
Yechish. M a'lumki,
x = J
\f»\idx va p= jyr'pyfdx form ulalar orqali
f 
e °2dx = afn integralni va x = x ,p x =
-
ih
— 
ekanligini hisobga olinsa
Эх
x
= |л|2 J 
xe dx = \Л\" I x a f n '^ - a f K
j <&i = |л)2 - 0 = 0
va
natijaga kelinadi
, 
chunki
j
Af
=—
7
^.
ау/л

---

I l l bob
VAQT 0 ‘TISHI BILAN HOLATLARNING 0 ‘ZGARISHI
3.1. Shredinger tenglamasi
Avvalgi boblarda, zarrachaning biror vaqt momentidagi to ‘Iqin 
funksiyasi m a iu m b o ig a n holda, uning shu momentdagi har qanday 
fizik kattalikning ehtimollik taqsimotini aniqlash mumkin deb gap 
yuritgan edik. Lekin hozircha eng m uhim narsani, y a ’ni vaqt o lis h i 
bilan to iq in funksiyasining o ‘zgarishini va shu bilan birga fizik 
kattalikning ehtimollik taqsimotlari vaqt davomida qanday o ‘zgarishini 
bilmaymiz. Aniqki, zarracha holatining vaqt b o ‘yicha o ‘zgarishi, unga 
ta ’sir qiluvchi kuchga b o g iiq b o iis h i kerak. Shuning uchun kvant 
m exanikasida 
to iq in funksiyasini vaqt b o ‘yicha o ‘zgarishini 
boshqaruvchi, 
klassik mexanikadagi Nyuton qonunlaridek, dinamik 
qonun topish 
zarur. Shu sababli, klassik mexanikaning asosiy 
prinsiplarini yana bir marta eslab o lis h ortiqchalik qilmaydi. Klassik 
m exanikada zarrachaning holatlarini ta ’riflovchi fizik kattaliklar ichida 
koordinata va impuls alohida rol o ‘ynaydi. Sababi, bu kattaliklam ing 
biror vaqt momenti uchun berilishi, zarrachaning 
keyingi harakatini 
to liq aniqlab beradi, bu esa bevosita Nyuton qonunlaridan kelib 
chiqadi:
ф = р = _Э1/(г) 
dr_ =
£
d t
 
Эг ’ 
d t
m '
Bu tenglamalardan ko‘rinib turibdiki, 
r 
va 
p 
kattaliklam ing vaqt 
bo'yicha o ‘zgarish tezligi shu kattaliklam ing o ‘zi bilan aniqlanar ekan. 
Aynan shu b o g la n ish tufayli zarrachaning turli vaqtdagi holatlari 
orasidagi sababiy b o g lan ish mavjuddir. Yana shuni aytish kerakki, 
klassik mexanikada zarrachaning holati 
r 
va 
p 
kattaliklar bilan to liq
aniqlanadi, ya’ni bu ikki kattalikni biror m om entda berilishi ulam i 
istalgan m omentda bir qiymatli aniqlash uchun yetarlidir. Shuning 
uchun ham barcha fizik kattaliklar shu asosiy kattaliklar orqali 
ifodalanadi.
Kvant m exanikasida esa zarrachaning holati to iq in funksiya orqali 
to liq aniqlanadi. Agar tabiatda haqiqatan ham zarrachaning turli 
momentdagi holatlari orasida sababiy b o g lan ish m avjud b o is a , bu hoi
89

---

to ‘lqin funksiyasining vaqt bo ‘yicha o ‘zgarishi orqali ifodalanishi kerak. 
M atem atik jihatdan 
y/(x,o)
va 
yU,t)
to iq in funksiyalari orasida 
b o g ianishn i aniqlash lozim va kvant mexanikasida ushbu bo g ian ish
sababiyat prinsipining talabidan kelib chiqadi.
Berilgan