Nazariy fizika kursi

3.2. Ehtimollik oqimi va zichligi
Shredinger tenglamasidan foydalanib, zarrachalar sonini saqlanish 
qonunini 
ifodalovchi uzluksizlik tenglamasini keltirib 
chiqarish 
mumkin, y a’ni:
dw 
„
— + 
div
i = 0
Э 
t
(3.5)
bunda 
w~(x, y,z)
nuqtadagi zarrachalar sonining о ‘rtacha zichligini, -
j -
esa zarrachalar oqimining o ‘rtacha zichligi bildiradi.
Bu tenglamani hosil qilish uchun 
(3.4) tenglamaning kompleks 
qo'shm a tenglamasi yoziladi:
..дуг* 
tr
, , Tr ,
“ * i r = " i V v' 
(3.6)
(3.4) 
tenglamani 
yr‘
ga, (3.6) tenglamani esa 
у/
ga ko‘paytirib va 
olingan natijalami bir-biridan 
ayirsak, natijada quyidagi ifodaga 
kelinadi:
'*(v ‘ ar+^
) =' £ ( ^ v v ' , , v v }- 
(3.7)
Hosil b o ig a n tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
■ ^(щ /') = — с
1
м(уг’У у /-у Я \
1
/ ’ )
92

---

(3.8) tenglamada у /у k o ‘paytma 
w
ehtimollik zichligini bildiradi, 
y a ’ni
W = \[f* у/
(3.9)
Agar quyidagi belgilash kiritsak
1 = 
(3.10)
u holda (3.8) tenglamani
^ + d i v  j = 0
( 3 1 1 )
d t
J
k o ‘rinishida yozish mumkin. Demak, j vektori ehtimollik oqimining 
zichligi b o ‘ladi. Agarda (3.11) tenglamada 
w=y/y ni zarrachalaming 
o ‘rtacha zichligi sifatida qaralsa, u holda j ni 1 sek da 1 sm2 yuzadan 
o ‘tadigan zarrachalam ing o ‘rtacha oqimi sifatida qarash mumkin. 
Shuning uchun, odatda (3.11) tenglamani zarrachalar sonini saqlanish 
qonuni m a’nosida talqin qilinadi. (3.11) tenglamani 
V
chekli hajm 
b o ‘yicha integrallab, so ‘ngra Gauss teoremasidan foydalanib,
— jw dV = -jd iv \d V = - j'indS
(ЗЛ 2)
natija olinadi. (3.12) dagi oxirgi integral 
V
hajm ni chegaralab 
turuvchi 
S
yuza b o ‘yicha olinadi.
Agarda integral chegarasidagi hajm sifatida butun fazo olinadigan 
b o ‘linsa, y a ’ni 
» b o ‘lsa, u holda fazoning cheksiz uzoqlikda 
joylashgan sirtlarida to ‘lqin funksiyalari hamda oqim zichligining nolga 
tengligidan
~ j w d V = d jx i/'y d V
= 0
(3-13)
natija olinadi. Demak, fazoning biror nuqtasida zarrachani to ‘liq 
topilish ehtimolligi vaqtga bog‘liq b o ‘lmaydi, shuning uchun ham 
zarrachalam ing soni o ‘zgarmaydi. Ikkinchi dan (3.13) ifoda vaqt o ‘tishi 
bilan to ‘lqin funksiyasi normallashuvining 
o ‘zgarmas 
ekanligini 
bildiradi.
Olingan j va 
w ni zarrachaning massasi 
m
ga ko‘paytirilsa, 
quyidagi tengliklarga kelinadi:
2 
ifj 
,
p m= m w = m
j,„=—
( v V y * - v ’Viif).
(3.14)
93

---

Olingan formulalarda 
pm
kattalik moddaning o ‘rtacha zichligini, j„, 
esa m odda tokining o ita c h a zichligi m a’nosini bildiradi. 
(3.11) 
tenglamaga m urojaat qilinsa, bu kattaliklar quyidagi uzluksizlik 
tenglamasiga b o ‘ysunadi:
j - = 0
(3.15)
y a ’ni, cheksiz kichik sohada m assaning o ‘zgarishi, shu sohani o ‘rab 
olgan sirtga m assa oqimining kirishi yoki chiqishi bilan bogiangan.
Shunga o ‘xshash 
j 
va 
w
ni zarrachaning 
e 
zaryadiga 
k o ‘paytirilsa, elektr zaryadining o ‘rtacha zichligini va elektr tokining 
o ‘rtacha zichligini olish mumkin, y a ’ni