Nazariy fizika kursi

14-rasm. Itarishish holati
uchun potensial energiya
ko‘rinishi.
Energetik spektr uzluksiz.
Bu holda zarrachaning toia 
energiyasi 
musbatdir. 
E>0 
boiganda 
energetik 
spektr 
uzluksizdir. 
Demak, itarishish 
kuchlar mavjud boigan holda 
energiyaning noldan boshlab + oo
15-rasm. Markazga
tortishish holi uchun
potensial energiya
ko‘rinishi.
£> 0 uchun energetic spektr
uzluksiz b oiad i. 
E<0
 hoi
uchun esa energetic spektr
alohida sathlardan iborat
bo‘ladi. / - ionizatsiya
energiyasi.
148

---

gacha barcha qiymatlari mavjuddir. 15-rasmda esa tortishish holatlari 
uchun potensial energiya tavsiflangan.
Bu holatda ikki imkoniyatni ajratish zarurdir, ya’ni E><) va E<0 
bo‘lganida. Birinchi holatda energetik spektr uzluksiz qiymatlami qabul 
qiladi, ikkinchi holatda esa biz Eh E2, ... E„ diskret, uzlukli qiymatlar 
spektriga ega boiinadi. Uzlukli va uzluksiz spektrlardan tashkil topgan 
umumiy energetik spektr Kulon qonuniga binoan yadro bilan 
elektronning o‘zaro ta’sirini ifodalavchi energetik spektrga tegishlidir. 
Yuqorida ko'rsatib o‘tilganidek, diskret sathlar atomdagi elektronning 
harakatiga tegishlidir. Aksincha uzluksiz, diskret bo‘lmagan, tutash 
spektr ionlashgan atomning energiyasiga mos keladi, chunki bu holatda 
elektron atomdan yetarli darajada uzoqlashgan va to‘la energiyasi 
musbat qiymatga ega bo‘ladi. Keltirilgan diagrammadan ionizatsiya 
uchun zamr bo‘lgan energiyani hisoblab chiqish mumkin. Normal 
holatda, ya’ni uyg‘onmagan holatida, elektron E { energiyaga ega 
bo‘ladi. Atomni ionlashtirish uchun shu atom elektronining energiyasi 
noldan katta bo‘lishi kerak, shuning uchun normal holatdagi atomni 
ionlashtirish uchun sarflangan minimal ish
/ = ()-£,=-£] 
(5.24)
teng bo‘lishi kerak.
Umuman olganda (5.2) dagi Shredinger tenglamasining umumiy 
yechimi (5.7) dagi to‘lqin funksiyalari superpozitsiyasi orqali berilishi 
mumkin,ya’ni:
у/(г,0,ф) = Х
« №
( 0-<Р) 
(5.25)
l,m
ko‘rinishda bo‘ladi. Xususiy holda 
burchakka bog‘liq bo‘lmagan 
yechimlar uchun biz m=0 holatlaming supeфozitsiyasiga mos keluvchi 
oddiy ifodaga kelamiz,ya’ni:
V/(r,0) = X CA W ( cos0) 
(5.26)
/
bo‘ladi.
5.2. Kulon maydonidagi harakat
Kvant mexanikasining yaratilishi bilanoq, atomning kvantomexanik 
nazariyasi rivojlantirildi va bu nazariya tabiat hamda unung tuzilishi 
haqidagi bilimlarimizni tubdan o‘zgartirdi hamda bir qator hodisalami
149

---

tushuntirib berishga imkon yaratib berdi. Bu nazariya elementlar davriy 
sistemasining kelib chiqish negizini, barqaror molekulalar tuzilishida 
atomlar о ‘zaro ta’sirining xarakterini, qattiq jismlaming mexanik, elektr 
va magnit xossalarini va 
mikrodunyoning bir qator muammolarini 
mukammal tushuntirib bera oldi.
Kvant mexanikasidagi eng sodda masalalardan biri yadroning 
Kulon maydonida elektronning harakati to‘g‘risidagi masaladir. Bunday 
masalani vodorod atomi H  da, bir marta ionlashtirilgan va zaryad soni 
z=2 ga teng geliy He" ionida, ikki marta ionlashtirilgan va zaryad soni 
z=3 ga teng litiy Li++ ionida va shunga o‘xshash vodorodsimon atomlar 
deb nomlangan ionlarda uchratiladi.
Demak, vodorod va vodorodsimon atomlar, ya’ni yadro 
maydonida bittagina elektron boigan atomlar, elementlar davriy 
sistemasidagi eng sodda sistemalar qatoriga kiradi. Vodorod atomi 
elektr zaryadi +e ga teng boigan zarra - protondangina iborat boigan 
yadrodan va manfiy -e zaryadli elektrondan tuzilgan. Proton va elektron 
o‘zaro elektrostatik tortishish kuchi orqali ta’sirlashadi. Kulon tortishish 
kuchi ta’siridagi bitta elektronning potensial energiyasi
tf(r) = - * l
^5'27>
r
ga teng boiadi. Bunda Ze - yadroning zaryadi, elementlar davriy 
sistemasida Z yadroning nomeri, vodorod atomi uchun Z=7, r- yadro 
bilan elektron orasidagi masofa. Vodorod atomi holida proton 
maydonida harakatlanayotgan elektron uchun kvant sathlarini topish 
uchun Shredinger tenglamasining radial qismini yechish kerak 
boiadi.Ushbu radial funksiya
R = X 
(5-28)
r
ko‘rinishda olinsa, awalgi paragrafda hosil qilingan (5.11) tenglama 
olinadi. Bu tenglamaga (5.27) dagi U ning qiymati qo‘yilsa va 
elektronning massasini m desak, markaziy simmetrik maydonda 
statsionar harakat qilayotgan elektron toiqin funksiyasining radial 
qismi uchun yozilgan tenglamaga kelinadi:
П2 d2% , П2 /(/ +1) _ Ze2
^ 
i г 
л 
2
X
% E%. 
(5.29)
2m dr 
2m r 
r
150

---

Ushbu koi'ilayotgan hoi elektronning yadroga tortishish holiga 
mosdir. Shuning uchun markaziy simmetrik maydonidagi harakatning 
umumiy nazariyasiga asosan (oldingi paragrafga qarang) biz E> 0 
bo‘lganida uzluksiz energetik spektrga va E<0 boiganida diskret 
spektrga ega boiinadi. Maqsadimiz yuqorida ta’riflangan diskret 
spektrni va R radial funksiyalami aniqlashdan iborat. Tenglamaning 
yechimini olish uchun oichamsiz kattaliklar quyidagicha kiritiladi:
P = ~ 
va 
£ = f ,
(5.30)
bunda
fi2 
____ _ „_8 
„ 
me4 
e2
a = — - = 0,529 10 *sm E, = — r- = — = 13,55eF 
(c
me 
’ 
p . J l j
2ft 
2 a
boiadi. Kiritilgan (5.30) belgilashlami (5.29) tenglamaga qo‘yilsa, 
m,e,h atom doimiylari qatnashmaydigan quyidagi 
d2% , 
2 Z 1(1 + 1),
< 5 - 3 2 >
tenglamaga kelinadi.
Dastavval (5.32) tenglama yechimining asimptotikasi o‘rganiladi. 
5.1-paragrafdagi X funksiyasining asimptotik holatini tekshirishdan 
kelib chiqqan natijadan foydalanib, (5.32) tenglamaning yechimi 
quvidagi ko‘rinishda izlanadi:
X(P) = e~apf ( p ) , a = 
(5-33)
Bunda noma’lum /(p) funksiyaning oshkor korinishi asimptotada 
e~af> dan tez o‘smaydigan boiishi kerak. (5.33) yechimni (5.32) 
tenglamaga qo‘yilsa, / funksiya uchun quyidagi differensial tenglama 
hosil boiadi:
o. 
< 5 J 4 )
dp~ 
dp \P 
P I
(5.34) tenglamaning yechimi - / funksiyaning oshkor ko‘rinishini, 
yuqoridagi shartga ko‘ra, darajali qator shaklida izlanadi. Umumiy 
nazariyadan ma’lumki, (5.29) tenglamaning yechimi r = 0 da chekli
151

---

boiishi uchun, rning darajalari bo‘yicha tuzilgan qator r w haddan
boshlanishi kerak. Shuning ucnun /(p) ni quyidagi ko‘rinishda 
izlanadi:
/
(5.35)
bunda av lar hozircha no‘malum bo‘lgan koeffitsiyentlar. Hosil 
qilingan (5.28) va (5.33) tengliklardan ma’lumki,
ЩР) 
p 
(5.28’)
radial funksiya p ning cheksizga intilishida chekli bo‘lish sharti bilan 
aniqladi. (5.35) dagi noma’lum aY koeffxtsiyentlarni topish uchun
(5.35) ni (5.34) ga qo‘yib,
(v +/ +