Nazariy fizika kursi

l)(v 
+l)avpv+l~1 -2aS](v +1 + l)avpv+l 
+ f—
^,pv+;+1 =0
u=o 
{ p 
p 
)^o
yoki
X(v+/+lXv+/)4 pl4/4 -7ajjv+l+\)c{.pv- +2Z^\{,pvW 
= 0
v=0 
v=0 
v=0 
v=0
tenglama hosil qilinadi. Oxirgi ifodadagi birinchi va to‘rtinchi hadda v 
ni v+1 ga almashtirib, p ning bir xil darajalari hosil qilinadi. Shunday 
qilib,
2 > v +1 [(v +1 + 2)(v +1 +1) - /(/ +1)]+av [2Z -2a(v + l + l)]}pv+' = 0
v=0
(5.36)
tenglamaga kelinadi. (5.35) qator (5.34) tenglamaning yechimi bo‘lishi 
uchun p ning barcha qiymatlarida (5.36) ifoda noldan cheksizlikkacha 
aynan qanoatlantirilishi kerak. Bu esa faqat p oldida turgan 
koeffitsiyentlar alohida-alohida nolga teng bo‘lgandagina o‘rinlidir, 
ya’ni v ning barcha qiymatlarida
av+i [(V+1 + 2)(v +1 +1) - 1(1 +1)] + av [2Z - 2a(v +1 +
1
)] = 0 
(
5
.
37
)
shart bajarilishi kerak. Bu talabdan <\
va a^ t orasida quyidagi rekurrent 
formula kelib chiqadi:
152

---

2a(v + l + \)-2Z 
A i о -
^ 
v =0,1,2, 
j
,.....
(5.38)
V+1 (v + / + 2)(v + / +1) - /(/ +1)
Birinchi o0 koeffitsiyent ixtiyoriy ravishda tanlab olinishi kerak. Bu 
koeffltsiyentga qandaydir qiymat berib, (5.38) dan a, ni topish mumkin,
a, orqali a2 aniqlanadi va hokazo. Barcha av lami hisoblab, p 
darajalari bo‘yicha qator shaklidagi izlanayotgan yechimni topish 
mumkin. Rekurrent formuladan ko‘rinib turibdiki, (5.35) qator Z va a 
o‘zgarmaslar o‘rtasidagi munosabatga bogiiq ravishda cheksiz darajali 
yoki chekli darajali kabi qatorga, ya’ni polinomga aylanadi. Agarda
Z
X = — 
va S = 2l + l 
a
kabi belgilash kiritilsa, (5.38) formulani
5 + 1 
-
2 a  
(v +
~
Яу 
v + 1
v + / + 1
ko‘rinishda yozish mumkin boiadi. Agar qator uzilmasa va v 
intilsa, quyidagi formulaga ega boiinadi:
ar 
f' + l
Bo xil rekurrent formula eksponenta ko‘rinishidagi funksiyalar uchun 
o‘rinlidir. Haqiqatdan ham:
e2ap =j?--(2ap)" 
n!
boiganligi uchun 
qatoming 
p" 
va 
р'ы 
hadlari oldidagi 
koeffitsiyentlarining nisbati:
6n+l _ (2a)"+! (2a)" _ 2a 
bn 
(и + 
1)! 
и! 
и 
+ 1
ga teng boiadi. Demak (5.35) qator chekli boimasa, v ning katta
qiymatlarida f(p) funksiyani tavsiflovchi qator, e 
funksiya kabi 
o‘zgaradi va p ning cheksizlikka intilishida chekli boiish sharti 
qo‘yilgan R radial funksiya uzoqlashuvchi asimptitotikaga ega boiib
exp 
(ap)
P
olmaganligi sababli bu yechimning ahamiyati yo‘q. p 
da yechim
qoladi, ya’ni p->°° da 
Fizik haqiqatni aks ettira
153

---

chekli bo‘lishi uchun qator biror v hadda uzilishga ega bo‘lishi kerak. 
U holda f(p) qator ko‘phad boiib qoladi va p - » « boiganida ham 
R-*0 boiadi. Hosil qilingan bunday yechim tekshirilayotgan 
tenglamaning xususiy funksiyasi boiib, p = о dan to p —
00
gacha 
boigan intervalda chekli va bir qiymatli boiadi.
Endi (5.35) qator biror v hadida uzilishga to‘g‘ri keladigan shart 
aniqlanadi. Qator uzilish uchun (5.38) ning o‘ng tomonidagi kasr surati 
nolga aylanishi lozim, ya’ni
2a(nr+l+\)-2Z = 0
yoki