Nazariy fizika kursi

a =-
Z
«r+/ + 1 
(5-39)
boiishi kerak. Hosil qilingan 
(5.39) tenglikdan ayonki, bu shart 
bajarilganda 
а п,.л\
koeffitsiyentmng o‘zi va undan keyingi 
koeffitsiyentlaming barchasi nolga teng boiishi kerak. Demak, / (p) 
yechim ko‘phadga aylanishi uchun va shu bilan birga R{p) funksiya 
butun intervalda chekli boiishi uchun (5.39) ifoda yetarli va zaruriy 
shart sifatida bajarilishi kerak.
n = nr +l + l t nr = 0,1,2,3 
(5.40)
belgilash kiritib, (5.39) ga qo‘yilsa hamda (5.33) dagi a ning qiymati 
hisobga olinsa, quyidagi natijani olinadi, ya’ni
_ _ Z ^
(5.40')
n 2
Shu bilan birga (5.30) dagi £ ni E orqali ifodasini hisobga olib, 
quyidagi muhim natijaga kelinadi, ya’ni izlanayotgan R - chekli va bir 
qiymatli yechimlar faqatgina elektronning quyidagi diskret energiya 
qiymatlaridagina mavjuddir:
Z 7'e‘im 1
Boshqacha aytganda, olingan formula vodorodsimon atomlar 
uchun mumkin boigan energetik sathlami aniqlashga imkon yaratadi. 
Bunda n— butun musbat son boiib,
n=l, 2, 3, ..., 
(5.42)
qiymatlami qabul qiladi va u bosh kvant soni deb atalib, elektronning 
energiyasini aniqlaydi. / va nr kattaliklar mos holda orbital va radial
154

---

kvant sonlari deb yuritiladi. Shu narsani alohida qayd qilib o‘tish joizki, 
vodorod atomi elektronining statsionar holatlari energiyasi uchun kvant 
mehanikasi asosida aniqlangan (5.41) ifoda shu hoi uchun Bor 
nazariyasida 
n
= 0
qiymatning qabul qila olmasligini alohoda uqtirib 
keltirilgan edi. Kvant mehanikasida esa bu muammo o‘z-o‘zidan 
bartaraf qilinadi, chunki 
1
=
0
,
1
,
2
,..., 
qiymatlami qabul qiladi va 
nr 
esa
(5.35) qator hadining nomeri boiib uning eng kichik qiymati nolga teng 
boiadi va (5.40) ga asosan bosh kvant soni nol qiymatni qabul qila 
olmaydi.
5.3. Vodorodsimon atomning to‘lqin funksiyasi
To‘lqin funksiyaga qo‘yilgan cheklilik shartidan (5.34) tenglama
Z
yechimini chekli darajali polinom bo‘lishi aniqlandi. a ~~ xususiy
yechimlar uchun (5.38) formula sezilarli darajada soddalashadi, ya’ni
2Z 
n 
—
( /
+ 
V + 
1) 
/ с
°v+'~ 
V (v+\)(2l+v+2)°v 
^
bo‘ladi. Bu formula yordamida av koeffitsiyentlami ketma-ket hisoblab 
chiqib, (5.35) formulaga qo‘yilsa:
/(P) = «
o
P,+!
’ 
n - l- 1 2Z p i (n - l- l)(n — 1 — 2) 2Zp 2 |
l!(2/ + 2) 
n 
21(21 + 2)(2/ + 3) 
n
(5.44)
(5.45)
+/_m 
(n—l-\)(n-l-2...) 
2 Zp 
nr 1(2/ + 2)(2/ + 3)...(2/ + nr +1) nr
ifoda hosil qilinadi. Bu formulada yangi % o‘zgaruvchini
- _ 2Zp _ 2Z 
n 
na
ko‘rinishda kiritish va barcha doimiy ko‘phadlami bitta Nnt orqali 
belgilash natijasida (5,28') formuladan и va 1 kvant holatlarga tegishli 
bo‘lgan R„i(P) funksiya uchun quyidagi formulaga kelinadi:
K ,(Z ) = N„,e гЯЪ11%}{£) 
(5.46)
155

---

bunda LnJtl kattalik orqali (5.44) formuladagi kvadrat qavs ichidagi 
ko‘phad belgilangan. Matematika kursidan maiumki, (5.44) dagi 
ko‘phad Lagerr polinomlari
1
Л ) = е ^ ( е - ^ ‘ )
( 5 ' 4 7 )
dan olingan hosilalar orqali ifodalanishi mumkin. Umumiy holda ^*(1) 
ko‘phad deganda
х‘*й )= ^ 74й)==‘"’ ^
(е^ ‘ ) 
<5'48) 
ko‘phadni tushinish kerak va (5.48) dagi ifodani, odatda, umumlashgan 
Lagerr polinomi deyiladi. Agarda k=n+l va s=2l+J desak, (5.44) dagi 
kvadrat qavslaming ichidagi ko‘phad olinishi va ushbu olingan (5.47) 
va (5.48) formulalar yordamida #,,(?) funksiyani hisoblash mumkin.
(5.46) formuladagi N„, normallovchi koeffitsiyentni normirovka 
sharti yordamida aniqlanadi:
(549)
0
yoki:
2n [(/! + /)!]’
(и —/ —1)!
ekanligini hisobga olib, pirovardida vodorod atomi energiya 
operatorining normallashgan xususiy funksiyalari uchun