Nazariy fizika kursi
Yüklə 9,41 Mb. Pdf görüntüsü
|
| dx
ft ni quyidagi ko‘rinishda yozish qulay boiadi: ПУ'+2т(Е-и)^/ = 0 (4.78) (4.78) tenglama yechimi 134 ko‘rinishda izlanadi. Bu yechimni (4.78) ga qo‘yilsa ihS"-Sa+2m(E-U) = 0 (4.80) tenglama hosil qilinadi. (4.80) ifoda aniq tenglama boiganligi uchun ft ni kichik parametr deb tanlab olib, tenglamaning yechimlarini kichik parametr bo‘yicha qator shaklida qidiriladi, ya’ni: S(x) = S0 (x) + ftS, (x) + ft2S2 (x) +... Bizning hisoblashlarimizda birinchi ikkita had bilan chegaralanish yetarlidir: S(x) = S0(x) + ftS,(x) (4.81) Hosil boigan taqribiy yechimni (4.80) ifodaga olib borib qo‘yib, 2m(E -U)- S'; (x) + h [*S^(jc) - 2S'S;] = 0 (4.82) ni hosil qilinadi. (4.82) tenglama aynan nolga teng boiishi uchun uning ft bo‘yicha alohida hadlari nolga teng boiishi kerak, ya’ni ft qatnashmaydigan hadlar va /г ning oldidagi ko‘paytuvchu uchun: 2m(E-U)-S;(x) = 0 (4.83) iS;(x)-2S'f)S;(x) = 0 (4.84) ifodalami olish mumkin. Avvalo /г = 0, ya’ni nolinchi yaqinlashishga tegishli boigan (4.83) shartni ko‘rib chiqaylik. Bunda S'0(x) = ±>j2m(E-U) natija olinadi. ^2m{E-U) kattalik klassik mexanikadagi p impulsni ifodalaydi, bundan S' (x) = ±^2m(E-U) = ±p X S0(x) = ±jpdx (4.85) *0 ifodalar hosil boiadi. Shunday qilib, nolinchi yaqinlashishda klassik mexanikaning oddiy yechimini hosil qilar ekanmiz. Yuqoridagi (4.84) tenglama orqali S, (x) ni topish mumkin (4.86) va (4.86) ni integralash natijasida (4.87) ifoda olinadi. Shunday qilib, tanlab olgan yaqinlashishida S(x) funksiya ni olinadi. (4.89) dagi “+” va ” ishoralarga tegishli boigan yechimlar o‘zaro bogiiqmasdir. Shu tufayli taqriban olingan umumiy yechimning ko‘rinishi boiishi mumkin, bunda с , cva 0 - o‘zgarmaslar boiib, ular berilgan masala uchun chegaraviy shartlardan topiladi. Hosil boigan (4.90) va (4.91) taqribiy yechimlar VKB yechimlari deyiladi. 4.7. Kvaziklassik yaqinlashishda potensial o‘radagi harakatni o‘rganish Endi olingan natijalami konkret masalalar yechimiga tatbiqini ko‘rib chiqaylik. Misol tariqasida bir oichamli potensial o‘radagi zarrachalar harakatini tekshiraylik. Ushbu rasmda tasvirlangan va bitta (4.88) boiadi. S(x) uchun hosil boigan ifodani (4.79) ga qo‘yib (4.89) цг(x) = ( exp + ‘ expi- * ■ fpdx ;P P | boiadi, yoki boshqa ko‘rinishda с (4.90) f \ (4.91) 136 minimumga ega boigan potensial energiyali o‘rada zarracha harakatlansin. 11-rasm. Bir o‘lchamli potensial o‘ra. II sohada, ya’ni toia energiya potensial energiyadan katta boigan holda, zarracha faqat finit harakat sodir etadi va uning energiyasi kvantlanadi. Bir oichamli harakatning umumiy hossalariga asosan ushbu zarrachaning energiyasiga yagona, ya’ni bitta energetik sath mos keladi. Ushbu satxning potensial egri chiziq bilan kesishgan nuqtalarida, ya’ni x=a va x=b nuqtalarda, o‘ra ichidagi zarrachaning harakatida klassik mexanikaga asosan burilish nuqtalari mavjud boiadi, bu nuqtalarda kinetik energiya nolga teng, toia energiya esa potensial energiyaga teng boiadi va zarracha, klassik mexanika qonunlariga bo'ysingan holda, qarama qarshi tomonga harakat qila boshlaydi. Kvant mexanikasida esa ahvol boshqacha boiadi. j*| > a boiganida, U potensial energiya kinetik energiyadan katta boiadi, ya’ni U>E, zarrachaning impulsi p = ^2m(E~U) = i^2m{U-E) mavhum kattalik boiadi. (4.90) formuladagi eksponenta kattaliklari haqiqiy boiadi va x —> <» da bittasi cheksiz kamayadi, bittasi esa cheksiz o‘sib boradi 137 bu yerda biz \ p\ - ^2m{U-E) haqiqiy kattalikni belgiladik. |*j > a sohasida o‘suvchi hadni tashlab yuborsak ( с " = о deb tanlab olish y o ii bilan) I soha uchun yechim ko‘rinishda boiadi. Shunga o‘xshash III soha uchun Ьят yechimni quyidagicha yozishimiz mumkin ko'rinishda boiadi. Faqat x=a va x-b nuqtalarida bu yechimni biz ishlata olmaymiz chunki bu nuqtalarda U = E boiadi va: II sohaning tashqarisida burulish nuqtalari atrofida (4.92) va (4.93) cheksiz ravishda ortib boradi. Asosiy masala shundan iboratki, hosil boigan ikkita taqribiy yechimlar, ya’ni I va III sohadagi eksponensial yechim va II sohadagi tebranuvchi yechim x=a va x=b nuqtalarda Sredinger tenglamasining xususiy yechimiga mos kelishi kerak. Bu masala matematik nuqtai nazardan kvant mexannikasi bo‘yicha yozilgan turli darslikda batafsil yoritilgan va quyidagi natija olingan: (4.92) (4.93) Bizni qiziqtiruvchi II soha uchun echim (4.94) eksponensial yechimlar J p = j2m(E-U) kattalik nolga intilishi sababli (4.96) (4.95) va shunga o‘xshash analogik ravishda (4.97) 138 ¥ \ х ) = 2 cos - < 6 . (4.98) Ikki yechimni taqqoslash natijasida Bor-Zommerfeld kvantlash shartidan kelib chiqadigan natija bilan mos kelishini ko‘rib chiqaylik. Ma’lumki, x=a va x= b nuqtalarda ikkala yechim bitta E energiya uchun to‘g‘ri kelishi va bir-biriga teng boiishi kerak, ya’ni rC O S <«•»> VIpwI I й 4 - Ushbu tenglik bajarilishi uchun fazalar yigindisi n butun karrali songa teng boiishi kerak va c' = (- i)V . Shunday qilib, yoki x l> J p(x)dx + J p(x)dx ь J p(x)dx - к ~2 ■7tn 1 n + — 2 rth boiishi kerak. Ammo boiganligi sababli: о J = J p{x)dx = 2 J p{x)dx n + - h-2n = n + — \ h 2 hosil boiadi. Bunda Л In = h . Shunday qilib, kvant nazariyasining kvant shartlari hosil qilinadi. Ushbu shartlar Bor nazariyasidagi statsionar holatlami aniqlovchi kvantlash qoidasining aynan o‘zidir. Demak, Bor nazariyasi kvaziklassik yaqinlashish doirasida to‘g‘ri natijalarga olib kelar ekan. 4.8. IV bob ga oid savol va masalalar 1. Dekart koordinatalarida erkin zarracha to ‘Iqin funksiyasining ko ‘rinishi yozing. 2. Kvant mexanikasida zarrachani potensial to ‘siqdan о ‘tish hodisasining mohiyatini ochib bering. 139 3. Potensial to ‘siqdan zarracha о ‘tganida shaffoflik va qaytish koeffitsiyentlarini aniqlab bering. 4. Chiziqli garmonik ostsillyator uchun Shredinger tenglamasining ко ‘rinishi qanday bo ladi? 5. Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan potensial о 'rada harakatlanuvchi zarracha uchun qanday umumiy xarakterga ega bo ‘Igan natijalar kelib chiqadi? 6 . Chiziqli garmonik ostsillyator uchun Shredinger tenglamasining xususiy qiymatlari va xususiy funks iyalarini toping. 7. Yüklə 9,41 Mb. Dostları ilə paylaş:
|