Nazariy fizika kursi

E - ---
.
i dt
Endi ikkala tenglamani tuzish sxemalarini, ya’ni klassik mexanikadagi 
Gamilton —Yakobi tenglamasini va kvant mexanikasidagi vaqtga 
bog‘liq boigan Shredinger tenglamasini hosil boiish sxemasini keltirib 
chiqaraylik.
E-* —
Klassik mexanikada
dS_ 
dt ’
dS 
dq,
Kvant mexanikada
h d '
E-*---
,
i dt
„
h d 
j dqt
(4.70)
(4.71)
Energiyani saqlanish qonuni tenglamasi
E = H(ql,...qn, pv...p„)
dan foydalanilsa,
Gamilton -Yakobi tenglamasi
Shredinger tenglamasi
ds U(
dS 
dS 
d q ’ dqn
h d*¥ 
- , 
h d 
h d  
) 
-T 37 = Н(Ях>~,Чя, -
I dt 
i dq, 
i dqn
tenglamalar hosil boiadi. Yuqorida keltirilgan sxemaga asosan bitta 
zarracha uchun Shredinger tenglamasini tuzib chiqaylik. Dekart 
koordinatalar sistemasida energiyaning saqlanish qonuni
132

---

Е = ~~~
(РI + Р 2
у +Р2
г) + и (х, У,
г)
2 т
ko'rinishda bo‘ladi. Ushbu ifodada umumiy sxema bo‘yicha (4.70) va
(4.71) formulalardan 
foydalangan holda va у  
funksiyaga 
operatorlarning ta’sirini hisobga olib, izlayotgan tenglamani hosil 
qilamiz, ya’ni:
Endi yuqoridagi ikki tenglama orasidagi bogianishni, ya’ni h 
0 da 
Shredinger tenglamasi Gamilton-Yakobi tenglamasiga o‘tishini ko‘rib 
chiqaylik. Agar Shredinger tenglamasiga to‘g‘ridan-to‘g‘ri h = 0 
qo‘yilsa, u holda bu tenglama hech qanday ma’noga ega bo‘lmay 
qoladi. Shuning uchun (4.72) tenglamada й->0 limitga o‘tiladi va 
Shredinger tenglamasining yechimi
funksiya 
ta’sir o‘lchamiga ega bo‘lib, Gamilton-Yakobi klassik 
tenglamasining yechimi bilan bogiiqligini ko‘rsatadi. 
A=const 
bo‘lganida hosilalami osongina hisoblash mumkin:
Huddi shunday у va z koordinatalari 
bo‘yicha ham o‘xshash 
ifodalarni olish mumkin. Olingan ifodalami (4.72) tenglamaga qo‘yiladi
ft dft _ fl1 ( d2p d2ft ( 
/ dt 
2
m ( dx
2
 
dy
2
(4.72)
(4.73)
ko‘rinishda izlanadi, bu yerda
S = S(x,y,z, t)
(4.74)
va Лехр^Д 
jg a
qisqartirib, quyidagi tenglama hosil qilinadi:
133

---

^- + — (gradS)2+U + — A5 = 0 
(4.75)
Э/ 2m 
2m
Klassik mexanikaga mos kelishi uchun й-H>0bo‘lishi kerak, buning
uchun (4.75) tenglamada b = 0 deb olinadi va
35 
1 , 
„ n 
(4-76)
— + — {gradS)+U= 0 
' 
’
dt 2m
tenglamaga kelinadi. Bitta x koordinata uchun
“ +_ L f a s j +c, = „ 
(4'77)
Эt 
2
m dx ^
tenglama hosil qilinadi. Shunday qilib, h -> 0 da klassik mexanikadagi 
(4.76) yoki xususiy holda (4.77) Gamilton-Yakobi tenglamasini hosil 
qildik.
4.6. Kvaziklassik yaqinlashish
Avvalgi paragrafda 
/? —> 0 da Shredinger tenglamasi Gamilton - 
Yakobi tenglamasiga uzluksiz ravishda o‘tishi ko‘rsatildi. Ikkinchi 
tomondan Bor kvantlash shartiga asosan
J pdq = rih
boiadi va Bor atomining statsionar orbitalari de-Broyl toiqinlarining 
ti
Я = — butun sonlari mos keluvchi orbitalar hisoblanadi.
P
Yuqorida keltirilgan faktlarga asoslangan holda ketma-ket 
yaqinlashish usuli yordamida Shredinger tenglamasidan Bor nazariyasi 
orqali klassik mexanikaga o‘tish mumkin. Ayniqsa bu o‘tish bir 
oichamli harakat misolida quyida keltirilgan Vensel-Kramers-Brillyuen 
(yoki qisqacha VKB) yaqinlashish metodi yordamida kvaziklassik 
yaqinlashish deb nomlangan yaqinlashishda yaqqol lco‘rinadi.
Bir oichamli Shredinger tenglamasi
4 ”-(£-<,*, =0