Ön söz 5 GiriĢ

Ən kiçik kvadratlar üsulu – təqribi hesablamalar metodudur, əsas məsələsi
– bir və ya bir necə naməlum kəmiyyətin axtarılmasıdır; bu kəmiyyətlərin əsl qiymətlərinə ən yaxın olanları – axtarılan kəmiyyətlərlə ifadə olunan digər kəmiyyətlərin ölçmə qiymətləri və hesablanmış qiymətlər arasındakı fərqlər kvadratlarının minimumunu təmin edən qiymətlərdir.
Fərz edək ki, ölçmənin nəticələri ümumi şəkildə aşağıdakı cədvəldə verilmişdir:

X	x1	x2	x3	...	xn
U	u1	u2	u3	...	un

U =(X) həmin cədvələ uyğun seçilmiş empirik düstur olsun.
(X) funksiyası bir sıra parametrlərdən asılıdır. Bu funksiyanın hansı şəkildə verilməsi nəzəri mühakiməyə əsasən və ya koordinat müstəvisində təcrübədən alınmış nöqtələri qurduqdan sonra göstərilə bilər.
Fərz edək ki, (X) funksiyası aşağıdakı kimi seçilmişdir:
(X) = a₀ X^m + a₁X^m-1 + + a_m ,(a₀ 0)
(X_k) - Y_k = V_k , ( k= 1, 2 , ,n)
kəmiyyətinə təcrübədən alınan məlumatlarla həmin məlumatlara uyğun seçilmiş riyazi modelin meyli deyilir. Burada k müxtəlif variantlarda aparılmış ölçmələrin
n

sayıdır. Tələb edilir ki, a₀, a₁,..., a_m əmsallarını elə seçmək lazımdır ki,
_{ V}2

k
k  1
verilmiş m-də minimum olsun. Görünür ki m nə qədər kiçik olsa seçilmiş empirik
n

düstur bir o qədər sadə olar. Lakin, m-in kiçik qəbul edilməsi digər tərəfdən
_{ V}2

k
k  1
meylinin qiymətinin artmasına gətirib çıxarır. Bu çatışmamazlıq seçilmiş modelin adekvatlığının statistik meyarlarla yoxlanması ilə aradan qaldırılır.
Ən kiçik kvadratlar üsulunu xətti yaxınlaşma variantında nümayiş etdirək.
(X) = a₀x + a₁
olduğunu qəbul edək. Onda
V₁= a₀x₁ + b₁ - y₁

V₂= a₀x₂ + b₂ - y₂



V_n= a₀x_n + b_n - y_n

Buradan
n

k
_ V² =
k  1
n
_(a₁
k  1

• 
  a₀x_k
  

• 
  y_k)²
  

 F(a₀,a₁) ifadəsini alırıq.

Məsələnin şərtinə görə F (a₀ , a₁) min olmalıdır. Bilirik ki, F(a₀ , a₁) funksiyasının ekstremumunun olması üçün zəruri şərt, həmin funksiyanın a₀ və a₁ nəzərən xüsusi törəmələrinin sıfıra bərabər olması və yaxud mövcud olmasıdır. Bu qaydanı tətbiq etsək, F(a₀ , a₁) funksiyasını minimallaşdıran a₀ , a₁ əmsallarının qiymətləri aşağıdakı kimi tapılar:
n n n

n _ x_ky_k 
^{ y}k ^{ x}k

a₀ 
k  1 k  1 k  1

n _ n _ ²
n _ x²  ^ _ x ^
k k
k  1 ^k  1 ^

n
^{ y}k
n

• 
  a_{0 } x_k
  

a₁ 
k  1 k  1
n

Təcrübədə çox vaxt xətti çoxölçülü reqressiya analizindən istifadə olunur:
u = v₀ +v₁x₁ + v₂x₂ + + v_nx_n
Hazır kompüter proqramları v₀, v₁,..., v_n əmsallarını asanlıqla hesablamağa imkan verir.
Reqressiya tənliyi alındıqdan sonra nəticələrin statistik analizini aparmaq lazımdır. Bu analiz zamanı tapılmış bütün reqressiya əmsallarının dəyərliliyi statistik meyarlarla qiymətləndirilir və seçilmiş riyazi modelin adekvatlığı təsdiq edilir. Bu şəkildə aparılan tədqiqat işi reqressiya analizi adlanır.
Reqressiya analizinin aparılması üçün aşağıdakı şərtlər ödənilməlidir:

1. 
   ölçülən X fiziki parametri çox kiçik xəta ilə ölçülməlidir;
   
2. 
   müşahidənin nəticəsi olan asılı olmayan u₁ , u₂ ,. ,u_k kəmiyyətləri normal
   

qanunla paylanmalıdır;

3. 
   k həcmli seçmə çoxluq şəraitində hər təcrübənin m dəfə aparıldığını qəbul etdikdə seçmə çoxluğun dispersiyaları bircins olmalıdır.
   

Dispersiya analizi. İki və daha çox çoxluğun statistik parametrlərinin müqayisəsi dispersiya analizinin əsas mövzusunu təşkil edir. Klassik üsullardan fərqli olaraq, dispersiya analizində bir çox amillərin baxılan prosesə eyni zamanda təsiri və onlar arasındakı qarşılıqlı təsir məsələləri öyrənilir. Dispersiya analizi - analiz edilən parametrlər arasında statistik əlaqənin olub olmadığı sualına cavab verir. Burada aşağıdakı şərtlərin ödənilməsi zəruridir:
l. baş çoxluqdan seçilmiş və normal paylanma qanununa tabe olan seçmə çoxluğa nəticə əlaməti kimi baxmaq lazımdır;

2. 
   nəticə əlamətinə təsir edən amillər bir-birindən asılı olmamalıdır;
   
3. 
   qruplar arasında olan dispersiya bircins olmalıdır, yəni onların dispersiyaları bir- birinə bərabər olmalıdır.
   

Bir-biri ilə tutuşdurulan çoxluqların xarakterindən asılı olaraq biramilli və çoxamilli dispersiya analizləri aparılır.
Biz burada yalnız biramilli dispersiya analizini xarakterizə edəcəyik.
Bir amilli dispersiya analizinin ümumi sxemi müqayisə edilən qrupların hər birinin orta qiymətinin baş çoxluğun orta qiyməti ilə müqayisəsinə əsaslanır. Bu zaman orta qiymətlərin özləri yox, faktiki qiymətlərdən orta qiymətlərin fərqinin kvadratlarının cəmi müqayisə edilir.
Fərz edək ki n müqayisə edilən seçmə geoloji çoxluq var. Bu çoxluqların hər birində öyrəniləsi geoloji əlamətin N qiyməti də məlumdur.
Bir amilli dispersiya analizi nəzəriyyəsinə əsasən:

j
N n
n
N n

ij

2
^(Xij
 X )²  N_(X
 X )²  _(X

• 
  X _j )
  

i1 j1
i1
i1 j1

Burada ^X _j
qiymətidir.

– j - cu seçmə çoxluğun orta qiyməti; X – baş çoxluğun orta

N n
n ^{N n}

2
Q  _
( X _ij
 X )²;
Q₁  N
_( X _J
 X )² ; ^{Q
 ( X} İJ

• 
  X _J
  

)² ;

i 1 j 1
i 1
i 1 j 1

kimi işarələmələr aparsaq, düsturunu aşağıdakı kimi yazmaq olar:
Q = Q₁ + Q₂

burada Q- ümumi kvadratik meylin cəmini, Q₁ müqayisə edilən ilkin seçmə çoxluqların orta qiymətlərinin ümumi orta qiymətdən kvadratik meyllərinin cəmini, Q₂-isə ilkin çoxluqların əlamətləri ilə onların orta qiymətlərinin kvadratik meyllərinin cəmini xarakterizə edir.
Göstərilən cəmlərin hər birinin özünün sərbəstlik dərəcəsi vardır. Sərbəstlik dərəcəsi dedikdə çoxluqdakı variantların sayı və yaxud da bir çoxluqda yerləşən elementlərin yerdəyişmələrinin sayı nəzərdə tutulur.