O’rtacha kvadrat

- jadval

O’rtacha kvadratik chetlanishni aniqlash

Ish normasini bajarganlar bo’yicha guruhlar, %	Sotuvchilar soni, (f)	Intervalning o’rtacha qiymati, x	xf	х  х	( х  х )^2	x  x
90-100	28	95	2660	-10	100	2800
100-110	48	105	5040	0	-	-
110-120	20	115	2300	+10	100	2000
120-130	4	125	500	+20	400	1600
Jami	100	-	10500	-		6400

Birinchi navbatda o’rtacha norma bajarilishini aniqlaymiz:

_{х } хf _ 95  28  105  48  115  20  125  4 _ 2660  5040  2300  50 _ 10500 _{ 105%}

f 28  48  20  4
28  48  20  4
100

Variantalarning o’rtachadan tafovuti va ularni kvadrati 5.9-jadvalda berilgan.

Dispersiyani aniqlaymiz.

_{ 2 } (х  х) ² f
f
_ 6400 _{ 64}
100

bu erdan o’rtacha kvadratik chetlanish teng:
     8
Variatsiya koeffitsientini hisoblaymiz:


_{V }  100 _ 8 100 _{ 7,62%
x} 105
Dispersiyani asosiy xossalari. O’rtacha kvadrat chetlanish bir qancha matematik xossalarga ega, ular uni hisoblashni soddalashtiradi yoki engillashtiradi.

1. 
   Agar belgining alohida miqdorlaridan qandaydir bir “A” sonni ayirsak yoki qo’shsak bunda o’rtacha kvadrat chetlanish o’zgarmaydi:
   

^{ 2} ( x  A) ^{  2}
Demak, dispersiyani faqat belgilangan variantlar asosida emas, balki shu variantalarning qandaydir bir o’zgarmas “A” sonidan bo’lgan chetlanishi asosida hisoblash ham mumkin.
^{ 2   2} ( x A)

2. 
   Agar belgining alohida miqdorlarini qandaydir o’zgarmas “A” songa bo’lsak yoki ko’paytirsak, unda o’rtacha kvadrat chetlanish A² ga, o’rtacha kvadratik chetlanish esa A martaga kamayadi yoki ko’payadi:
   

 ^{2 x}   ²  A²
A
ёки
^{ 2} x A ^{  2  A2}

^ x
A
   A
 _xA    A

Demak, belgining alohida miqdorini dastlab «A» songa (masalan, interval oralig’iga) bo’lib dispersiyani hisoblash mumkin, so’ngra esa olingan natijani o’sha o’zgarmas «A» sonning kvadratiga ko’paytirib, dispersiyaning haqiqiy qiymati (xuddi shunga o’xshash o’rtacha kvadratik chetlanish) aniqlanadi.

3. 
   Agar  ² o’rtacha arifmetik va alohida miqdorlar asosida emas, balki
   

o’rtachani qandaydir bir “A” son bilan almashtirib, so’ngra ular o’rtasida o’rtacha kvadrat chetlanish hisoblansa, u hamma vaqt o’rtacha arifmetik bo’yicha hisoblangan dispersiyadan katta bo’ladi:



А
 ²   ²


Anchagina farqga ega, ya’ni o’rtacha bilan shartli olingan miqdor farqining kvadratiga ( х  А )²

 ²   ²  (х  А) ²

ёки

 ²   ²  (х  А) ²

А

А А
Demak, o’rtacha asosida hisoblangan dispersiya hamma vaqt boshqa dispersiyalardan kichik bo’ladi.

9. - jadval

А
Dispersiyani A=150 holda aniqlash. ( ² )

Tovar oboroti bo’yicha guruhlar, mln.so’m.	Sotuvchila r soni, (f)	Interval o’rtachasi, x	x-150	(x-150)^2	(x-150)^2f
100 - 120	10	110	- 40	1600	16000
120 -140	20	130	- 20	400	8000
140 - 160	60	150	0	0	0
160 - 180	30	170	+20	400	12000
180 - 200	10	190	+40	1600	16000
Jami	130	-		-	52000

А
Shunday qilib dispersiya  ²
uchun:
52000 _{ 400 .}
130

9. - jadval

Dispersiyani hisoblash (o’rtacha uchun)

Interval o’rtachasi (x)	Sotuvchi lar soni, (f)	xf	х  х	( х  х )^2	( х  х )^2f
110	10	1100	-41,54	1725,57	17255,7
130	20	2600	-21,54	463,97	9279,4
150	60	9000	-1,54	2,37	142,2
170	30	5100	18,46	340,77	10223,1
190	10	1900	3846	1479,17	14791,7
Jami	130	19700		-	51692,1

O’rtacha arifmetik bizni misolimizda teng:

_{х } xf
f


Дисперсия
 ¹⁹⁷⁰⁰  151,54млн.су⁽м 130


тенг : ²  ^51692,1  397,63
130

Bu erda tafovutni o’rtacha arifmetik (151.54)dan emas, ozod son 150 dan aniqlaymiz. Unda keltirilgan formulamizga binoan, o’rtacha kvadrat chetlanish (150 dan olingani) teng:

397,63+(151,54-150)²=397,63+2,37=400,0

Xuddi shunday natijani 5.10-jadval ma’lumotlari asosida ham olishga erishgan edik.

Bu hisob-kitobni  ² ni hisoblash uchun ham ishlatish mumkin. Buning uchun



А
² dan A va x farqining kvadratini (151,54-150)²=2,37 ajratish kerak. Demak,
 ² =400-2,37=397,63.
Xuddi shunday natija 5.11-jadval ma’lumotlari asosida ham olingan edi.
Agar “A” ni nolga teng deb olsak, u holda dispersiya alohida miqdorlar kvadrati o’rtachasi va o’rtacha miqdor kvadrati ayirmasiga tengdir:

 ² 
x ² f
f
_{ (} xf _{) 2}
x


ёки
 ² =

x ²  (x) ²

9. –jadval

Dispersiyani  ² =


x ²  (x) ²

bilan aniqlash

x	f	xf	x2	x^2f
110	10	1100	12100	121000
130	20	2600	16900	338000
150	60	9000	22500	1350000
170	30	5100	28900	867000
190	10	1900	36100	361000
Jami	130	19700	-	3037000

5.12 - jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida dispersiyani hisoblaymiz:

 ²  ^3037000  (¹⁹⁷⁰⁰) ²  23361,54  (151,54) ²  23361,54  22963,91  397,63
130 130

Qaysi usulni qo’llamaylik olinadigan natija bir xil.

Dispersiyani bu usulda hisoblash amaliyotda juda keng qo’llaniladi.
Dispersiyani moment usuli bilan aniqlash. Yuqorida echgan misollarimizdan ko’rinib turibdiki, dispersiyani hisoblash ko’p mehnat talab qiladigan ishlardan bittasi ekan. O’rtacha arifmetikni hisoblashda qo’llaganimizdek, dispersiyani aniqlashda ham moment usulini qo’llasak hisob-kitob ishlari ancha soddalashadi.
Dispersiyani moment usulida hisoblash quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi:

1

2
 ²  i ² (m  m ² )
Dispersiyani aniqlash uchun oldin birinchi va ikkinchi tartibli momentlarni hisoblash zarur.
Birinchi tartibli moment quyidagi formula bilan aniqlanadi:


( ^{х  А}) f
_{m } i
¹ f

Ikkinchi darajali moment quyidagi formula bilan aniqlanadi:

( ^{х  А}) ² f _{m } i
² f