Otázky logika

materiální – termín nezastupuje předměty vnějšího světa, ale v určitém smyslu „materiál“ z něhož je věta vystavěna (Člověk je dvouslabičný) – termín homo (člověk) nesuponuje personálně, protože nezastupuje předměty vnějšího světa, ale slovo

osobní - termín označuje nebo zastupuje předměty vnějšího světa – Homo est animal – termín homo má osobní supozici

jednoduchou – termín označuje pojem (intention animae), který spojujeme se slovem (Homo est species) – termín homo nezastupuje ani předměty vnějšího světa ani slovo, ale pojem, který spojujeme se slovem homo

osobní supozice:

singulární supozice (suppositio discreta) – termín zastupuje právě jednu věc: Sokrates běží

obecná supozice (suppositio communis) – termín zastupuje větší množství:

obecná supozice:

určitá supozice (suppositio determinata) – termín zastupuje přinejmenším jednu věc: Člověk běží

supozice konfúzní (suppositio confusa) – termín zastupuje vždy větší počet věcí

konfúzní supozice:

pouze konfúzní supozice (suppositio confusa tantum) – termín se nachází na místě predikátu: Každý člověk je živočich.

supozice konfúzní a distributivní (suppositio confusa et distributiva) – termín se nachází na místě subjektu: Každý člověk je živočich.


SUPPOSITIO

PERSONALIS MATERIALIS SIMPLEX

DISCRETA COMMUNIS

DETERMINATA CONFUSA

CONFUSA TANTUM CONFUSA ET DISTRIBUTIVA




MOBILIS IMMOBILIS

Teorie sestupu (descensus)

• 
  pravidla převedení výroku, v němž se vyskytuje obecná supozice na výrok, v němž se vyskytuje supozice singulární
  
• 
  pravidla stanovují, a jakých okolností je přípustné přejít (sestoupit) od výroku s obecnou supozicí k výroku se singulární supozicí (kdy je argument, jehož premisou je výrok s obecnou supozicí a závěrem výrok se singulární supozicí, správný)
  
• 
  souvislosti mezi jednotlivými druhy obecné supozice a supozicí singulární:
  
• 
  pravidlo: Od výroku, v němž se vyskytuje termín, který má určitou supozici, mohu přejít ke složenému výroku, v němž se vyskytuje tentýž termín, který má singulární supozici. Složený výrok je vytvořen z jednoduchých výroků, které jsou spojeny disjunktivně (pomocí nebo) – tímto způsobem můžeme přejít od výroku Člověk běží k Tento člověk běží. (V prvním výroku má člověk určitou supozici, zatímco v druhém má tentýž termín supozici singulární).
  

Teorie výstupu (ascensus)

• 
  postupujeme od singulární supozice k supozici určité
  
• 
  kdy je argument, jehož premisou je výrok se singulární supozicí, správný?
  
• 
  lze přejít z výroku Tento člověk běží k Člověk běží, kde termín člověk má určitou supozici
  

Možnost provést descensus a ascensus se považovalo za kritérium toho, jestli má výrok určitou supozici.

2. 
   Teorie důsledků
   

• 
  řeší teorii vyplývání
  
• 
  autoři: Waltr Burleigha, Jan Buridan, Vilém Ockham, Albert Saský, Pavel Benátský
  
• 
  konsekvence nebo důsledek = posloupnost (sekvenci) výroků, pro které platí, že jeden z výroků (consequens) vyplývá z ostatních (antecedens).
  

2 typy konsekvencí:

jako složený výrok

jako argument

• 
  Konsekvence jako složený výrok (vztah mezi disjunkcí a konjunkcí):
  

• 
  skládá se ze dvou výroků spojených spojkou jestliže, pak (si, cum)
  
• 
  učenci navazují na Aristotelovy spisy O vyjadřování a Topiky
  
• 
  jestliže antecedent pak consequens – vztah implikace
  

A	K	Jestliže A, pak K
P	P	P
P	N	N
N	P	P
N	N	P

• 
  závěr: celek je pravdivý, jestliže je antecedent nepravdivý nebo konsekvent pravdivý
  
• 
  vztah mezi implikací a disjunkcí: (A=>B <=> ~A V B)
  
• 
  obecně platí: Jestliže antecedent, pak konsekvent = ne- antecedent nebo konsekvent
  
• 
  vztah mezi implikací a konjunkcí: (A=>B <=> ~(A Λ ~B)
  
• 
  Jestliže antecedent, pak konsekvent = ne- (antecedent a ne- konsekvent)
  
• 
  vztah mezi konjunkcí a disjunkcí: ~(A Λ ~B) <=> ~A V B
  
• 
  ne – (antecedent a ne- konsekvent) = ne-antecedent nebo konsekvent
  

Argument

• 
  konsekvenci můžeme chápat jako posloupnost výroků, které vytváření argument
  
• 
  premisy jsou se závěrem spojeny pomocí výrazu tedy (zatímco spojka jestliže, pak vytvoří podmínkové souvětí, tedy opět nový výrok, výraz tedy tuto funkci nemá)
  
• 
  podmínkové souvětí hodnotíme z hlediska pravdivosti, avšak argument jako celek může být jedině správný, nebo nesprávný
  
• 
  Aristoteles: argument je správný, jestliže není možné, aby byl současně pravdivý antecedent a nepravdivý konsekvent
  

Argument
FORMÁLNÍ MATERIÁLNÍ

Prostě platné

Platné nyní

Prostě platné

Platné nyní


prostě platné: platné bez jakéhokoli časového omezení, tedy platné absolutně

platné nyní: platné v určitém časovém okamžiku

formální: jeho platnost je nezávislá na významu kategorematických termínů, ale pouze na synkategorematických termínech (některý, každý …)

materiální: jeho platnost je závislá nejenom na synkategorematických termínech, ale i na termínech kategorematických
převádění materiálního argumentu na formální:
materiální:

Jan je starý mládenec. – správnost argumentu závisí na významu kategorematických termínů

Jan je neženatý. starý mládenec a neženatý (nemůžeme např. mládenec zaměnit s Čech)

s připojením vhodné premisy se materiální argument změní ve formální:
Každý starý mládenec je neženatý

Jan je starý mládenec. – argument není závislý na materii

Jan je neženatý

pravidla:

a) z nemožného vyplývá cokoliv – Z člověk je osel vyplývá Petr běží.

b) nutné vyplývá z čehokoliv – Z Jan sedí vyplývá Bůh existuje.

4. Novověká logika

1. 
   Celková situace
   

Novověká logika

• 
  období úpadku
  
• 
  to, co bylo objeveno v antice a scholastickém období, bylo opomíjeno a zapomenuto...
  
• 
  2 důvody: a) za renesance a osvícenství převládal despekt k období středověku, logika byla ignorována, humanistická logika, humanistická tendence – nic nevymysleli, jen se redukovali na část scholastické logiky, naopak byli výřeční a dobrými a trefnými vtipy a nadávkami se do scholastické logiky strefovali a tím pádem opadal zájem o tuto disciplínu... x klasická logika – oprášili logiku (i scholastickou), navazují na Aristotela, používá se v jiných tématech (např. psychologie) → Marx: Logika dělnických hnutí
  
• 
  b) druhý problém je věcného charakteru – nový racionální přístup k realitě, vznikají přírodní vědy (Galileo Galilei)
  
• 
  filosofové přemýšleli, proč se tomu tak stalo – začalo se přemýšlet INDUKTIVNĚ – přecházelo se od jednotlivých příkladů k obecnostem...
  
• 
  Francis Bacon – napsal Nový Organon (ve vědě nededukujeme, ale indukujeme)
  
• 
  John Stuart Mill – A System of Logic (rozsáhlá práce o induktivní logice)
  
• 
  problém induktivní logiky – vycházíme z toho, že z omezeného počtu případů, které nastaly (např. v rámci pokusu) vyvodíme něco, co by mělo platit pro nekonečný počet případů...ALE není zde důkaz pro případy, které nenastaly a třeba nastat mohou...tedy výsledku tohoto postupu nemohou být verifikovány (uznány) – př. jestliže každý den vyšlo slunce, není to důkaz, že zítra nutně musí vyjít...
  
• 
  tento problém řešil David Hume – a započal návrat k dedukci...
  
• 
  Karl Popper – tvrdil, že přírodní vědy vůbec nejsou předmětem logiky ale záležitost psychologie – tedy že určitého vědce to zkrátka napadne
  
• 
  Jestliže H, pak D D nastane – Jestliže H, pak D
  

Avšak D.

Tedy logicky nic NEPLYNE, ale hypotéza není

vyvrácena = falsifikována.

D neplatí – Jestliže H, pak D.

Avšak ne D.

Tedy ne H.

Tedy přírodní zákony nelze verifikovat, ale pouze

falsifikovat.

• 
  vypadá to, že logika zcela zanikla, ale není tomu tak
  
• 
  v renesanci byla snaha o návrat k antice – a logika v antice vznikla, nikoliv ve scholastice, tedy určité místo zde logika měla, avšak velmi malé...
  
• 
  v prostředí církevních škol vznikla tzv. Nová Scholastika (zde se stále, více či méně, učilo scholastickým způsobem)
  
• 
  mimo jiné církevní představitelé Bolzano – pronikli i do světské logiky
  

2. 
   G. W. Leibniz
   

• 
  Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
  
• 
  narodil se v protestantském Německu na konci Třicetileté války – která měla náboženský podtext – vyřešila definitivní rozdělení Evropy na katolickou a protestantskou
  
• 
  byl velmi nadaný, filosofie a především matematika – intenifizimální počet (derivace, integrály)
  
• 
  poprvé pojímá logiku jako matematickou = > dá se přesně zjistit pravda X nepravda
  
• 
  odešel ze zbídačeného Německa do tehdy rozkvétající Francie
  
• 
  ale spíše jako diplomat – snažil se sjednotit Evropu, konkrétně se snažil o sjednocení vojsk ke společné výpravě do Egypta (ale bylo mu naznačeno, že období křížových výprav již skončilo), mimo jiní Francouzi s Němci nechtěli nic mít
  
• 
  snažil se matematicky vysvětli, proč, když se dva dohadují, se nikdy neshodnou...
  
• 
  ale matematici se shodnout mohou, protože používají stejný jazyk
  
• 
  tedy se snažil zavést společný jazyk, s jakým pracují matematici, i např. do politiky, filosofie, teologie...
  
• 
  výsledkem této snahy je projekt MATHESIS UNIVERSALIS
  
• 
  2 části: charastericica universalis – snaha o vytvoření o jednoznačného jazyka
  

nebo lingua philosofica (podobně jako mody či axiomy...)

calculus ratiotinator – návod, jak s tímto jazykem pracovat, metoda vytváření správných závěrů (pravidla = syntax)

• 
  Kdyby se podařilo vybudovat takový jazyk, pak by to byl dobrý předpoklad k tomu, abychom všechny problémy (filosofické, teologické, politické) vyřešili za pouhého počítání
  

• 
  univerzální jazyk se však nevytvořil – 2 důvody:
  

1. vytváření slovníku,

2. Leibniz nedokázal analyzovat výroky jinak, než jako subjekt-predikátovou strukturu

• 
  Leibniz je svým způsobem otcem matematizace logiky
  

5. Moderní logika

1. 
   Vznik matematické logiky v 19. století
   

Moderní (matematická) logika

• 
  to co dříve patřilo výlučně do filosofie a teologie se začíná objevovat i v matematice
  

Mathesis universalis Characteristica universalis (mody, axiomy...)

Calculus ratiotinator (pravidla = syntax)

• 
  logicismus = způsob pojetí logiky spočívající v úsilí dokázat, že matematiku lze podřídit logice a tím logiku osvobodit z její služebné role vůči vědám ostatním – logika by se tak stala samostatnou vysoce teoretickou vědní disciplínou
  
• 
  Anglie
  
• 
  George Boole – zakladatel logiky v moderním slova smyslu, irský atematik, napsal The matematical analysis of logic – „Boolovská algebra“
  
• 
  August de Morgan – , anglický matematik, Formální logika
  
• 
  Bernard Bolzano – pražský filozof, matematik
  
• 
  Bernard Russell – objevil Fregeho myšlenky a společně s A. N. Whiteheadem vytvořil dílo Principia Mathematica – rozpracování Fregeho a jeho vlastních myšlenek pomocí Peanovy symoboliky
  
• 
  Pojmové písmo
  
• 
  na Leibnizův projekt Charakteristica univeralis navazuje Gottlob Froege – Pojmové písmo – vzniká jazyk, který umožní schematizovat náš přirozený jazyk tak, aby bylo možno artikulovat matematické důkazy
  
• 
  nahradil pojmy subjekt a predikát matematickými pojmy argument a funkce
  
• 
  přesně formulovaná výroková i ptredikátová logika
  
• 
  dokázal pracovat i se singulárními výroky (př. Jan je větší než Petr)
  

• 
  1. výroková logika: výrok A (př. Venku mrzne., Klaus je prezident ČR...) – A :tímto způsobem vyjádřím, že mě zajímají pouze pravdivostní podmínky, POJMOVÝ OBSAH (souditelný- obsah výrazu je významný z hlediska pravdivosti - věta, a nesouditelný – výrazy, které nevytvářejí celou větu)
  
• 
  A = A má souditelný obsah (obsah ketý ještě netvrdíme, ale za určitých okolností tvrdit můžeme)
  
• 
  A = výroková čárka, z souditelného obsahu máme výrok, který tvrdíme
  
• 
  
  
• 
  A = negativní pojmový obsah
  
• 
  
  1. 
     A tvrdíme, B tvrdíme
     
  2. 
     A tvrdíme, B popíráme
     
  3. 
     A popíráme, B tvrdíme
     
  4. 
     A popíráme, B popíráme
     
  A = podmíněný pojmový obsah (implikace): 4. možnosti:
  

B
A

• 
  B - čteme: tvdit, že B podmiňuje A (vyloučení třetí možnosti)
  

A

• 
  B – disjunktivní spojení souditelných obsahů B a A (B nebo A)
  

A

• 
  B – konjunktivní spojení B a A
  
• 
  Fregův přínos je v tom, že ukazuje, jak je možné pomocí dvou operátorů tyto vztahy vyjádřit
  
• 
  2. predikátová logika: logika pojmu (rozvinul Aristoteles, Scholastika – Terministé)
  

logika výroku (M S Š – megarsko-stoická škola)

• 
  Frege tradiční způsob analýzi reviduje
  
• 
  nauka o funkci: funkce je předpis, který od uspořádané hodnoty n-tic přiřadí právě jednu hodnotu
  
• 
  to, co dosadíme za x ve funkci je proměnná, číslo které dosazujeme za proměnnou je argument funkce, výraz, který vyjde se nazývá hodnotou funkce
  
• 
  podle Frega se dá funkce také použít k tomu, aby se přecházelo od jednoho předmětu k druhému
  
• 
  x² = 4 má po dosazení pravdivostní hodnotu – pravda nebo nepravda
  
• 
  Aristoteles = filosof – po dosazení jiných jmen můžeme určit pravdivostní hodnotu, od funkce se liší pouze v předmětu, mezi kterými je ustanovován vztah
  
• 
  Praha je větší než Bratislava – F (x₁,x₂)
  
• 
  symbolika:
  
• 
  Aristoteles je filosof: F(a): F(x) je zápis pro filosof, a je zápis pro Aristoteles
  
• 
  P
  S(x)
  raha je větší než Bratislava: G(b,c): G(x,y) je zápis pro je větší než, b a c pro Praha a Bratislava
  
• 
  Každý je smrtelný = Pro každé x platí: x je smrtelný X
  

Pro každé x platí: S(x)

• 
  Každý člověk je smrtelný – 2 pojmy,C(x) a S(x)
  

Systém klasické logiky

• 
  Výroková logika M.-S. škola. – DE CONSEQUENTIS
  
• 
  Predikátová logika – logika pojmu, Aristoteles
  
• 
  matematizace logiky
  

Výroková logika

• 
  Výrok je věta, která je buď pravdivá či nepravdivá.
  
• 
  Froege: „Výrok je věta, která má pravdivostní hodnotu (buď 1 nebo 0).“
  

- 3 principy:

1. Princip bivalence: existují pouze 2 pravdivostní hodnoty, buď pravda nebo nepravda.

2. Princip jedinečnosti: výrok může mít pouze jednu pravdivostní

3. Princip extenzionality: výroky jsou zaměnitelné, jestliže mají stejnou pravdivostní hodnotu

- základní pojmy:

1. Výroková forma: je každý výraz, který není ani pravdivý ani nepravdivý, protože obsahuje proměnné, ale ze kterého by se stal výrok vhodným dosazením – n > 1, př. n = 3; oproti tomu: Každé S je P. S = člověk, P = živočich. Je NUTNÉ dosazovat vhodně!

2. Proměnná: písmeno, o němž je dohodnuto, že označuje právě jeden předmět oboru naší úvahy, není však řečeno který
syntax výrokové logiky:

- jazyk V. L.: 1. Jednoduché výrokové formy

2. Složené výrokové formy:

a) Jestliže A je výroková forma a B je výroková forma, pak A Λ B je výroková forma. – konjunkce = spojka A

b) Jestliže A je výroková forma a B je výroková forma, pak A V B je výroková forma – disjunkce = spojka NEBO

c) Jestliže A je výroková forma a B je výroková forma, pak A => B je výroková forma –

implikace = JESTLIŽE – PAK

d) Jestliže A je výroková forma a B je výroková forma, pak A ≡ B je výroková forma –

ekvivalence = PRÁVĚ TEHDY KDYŽ

e) Jestliže A je výroková forma, pak ~A je výroková forma –

negace = NE
Gramatika výrokové logiky:

1. Všechny výrazy typu p₁, p₂… p_n jsou dobře vytvořenými formulemi výrokové logiky.

2. Jestliže je A dobře vytvořená formule výrokové logiky, pak je dobře vytvořená i formule ~A.

3. Jestliže jsou výrazy A a B dobře vytvořenými formulemi, pak je dobře vytvořená i formule (A→B).

4. Pouze formule vytvořené na základě bodů (a) – (c) jsou dobře vytvořené formule výrokové logiky.
- sémantika výrokové logiky:

= stanovení funkční závislosti, jazyka výrokové logiky

A	B	A Λ B	A V B	A => B	A ≡ B	A≡ B	B ~ A
1	1	1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	0	0	1	0
0	1	0	1	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1	0	1