O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

Teorema 6.1
.                 
xB
Ax

 , 
bu yerda  
 
 
 
 


1
1
1
1
,
,
...
,
~
1
1








U
H
E
H
E
U
U
A
U
a
A
u
n
p
p
n
p
p
m
k
i
ik


 
 
 
 
 


1
1
1
1
,
,
~
1
1








V
H
E
H
E
V
V
B
V
b
B
v
v
q
q
v
q
q
n
ik
ik



, 

---

 
138 
tenglamaning yechimi  
1
~
~


V
UX
X
B
A
             
 
 
 
(6.17) 
formula bilan berilib, 
B
X
X
A
X
B
A
~
~
~
~
~
~


 tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi va 
B
A
X
~
~
 quyidagicha bloklarga ajraladi: 
 




xq
p
X
X
X
B
A


,
~
~
  o’lchovli  matritsa       


v
u
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1




    ,   
agar 





   bo’lsa  ,  
0


X
 bo’lib, 





 da   

X
 ixtiyoriy to’g’ri yuqori 
uchburchak  matritsa bo’ladi.  
B
A
X
~
~
 shuningdek, 
X
 
N
ta ixtiyoriy 
n
c
c
c
,
...
,
,
2
1
parametrlar orqali chiziqli 
bog’lanadi, ya’ni 
                                    
i
n
i
i
X
C
X



1
                                                (6.18) 
bu yerda 
                                    




u
v
N
1
1




,                                              (6.19)  
bu yerda 








p


 va 






q

 larning eng katta umumiy bo’luvchisining 
darajasi. 
              Agar 
A
  va 
B
matritsalar  umumiy  xarakteristik  songa  ega  bo’lmasa,  u 
holda 
,
0
,
0


X
N
yani  (6.1)
 
tenglama faqat 
0

X
 nolli yechimga ega bo’ladi.  
           (6.1)  matritsali  tenglama 
n
m

  ta  chiziqli  bir  jinsli  tenglamalar 
sistemasiga  ekvivalent  bo’lib, 
)
,
...
,
2
,
1
;
,
...
,
2
,
1
(
n
k
m
j
x
jk


  noma’lumlar  
izlanayotgan 
X
 matritsaning  elementlari bo’ladi: 
                       





m
j
n
k
kk
ik
jk
ij
b
x
x
a
1
1


n
k
m
i
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1


    (6.20)
 
§ 2.
B
A

 bo’lgan hususiy hol. O’rin almashinuvchi matritsalar. 
(6.1) tenglamaning quyidagicha hususiy holini qaraymiz: 
xA
Ax

                               
 
 
 
(6.21) 
Bu  yerda 
m
k
i
ik
a
A
1
,


  -berilgan, 
-izlanayotgan  matritsa.  Bu  holda 
Frobenusning quyidagi masalasiga kelamiz:berilgan   matritsa bilan o’rin 
almashinuvchi bo’lgan barcha 
X
 matritsalarni aniqlang. 
n
k
i
ik
x
X
1
,


A

---

 
139 
A
 martisani quyidagicha Jordonning normal formasiga keltiramiz: 


1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
,
,
~
1
1






U
H
E
H
E
U
U
A
U
A
u
u
p
p
u
p
p



                       
(6.22) 
U  holda  (6.17)  formulada 
A
B
U
V
~
~
,


  deb  olib, 
A
A
X
~
~
  ni 
A
X
~
  orqali  belgilab, 
(6.21) tenglamaning barcha yechimlarini, ya’ni 
A
 matritsa o’rin almashinuvchi 
barcha matritsalarni quyidagicha ko’rinishda hosil qilamiz: 
1
~


U
UX
X
A
                         
 
 
 
(6.23) 
bu  yerda 
A
X
~
  orqali 
A
~
matritsa  bilan  o’rin  almashinuvchi  barcha  martisalarni 
belgilangan .Avvalgi paragrfdagi kabi, 
A
X
~
 matritsa 
2
U
 blo’klarga ajraladi: 
 
u
A
X
X
1
,
~





 
Bu  ajralish 
A
~
  Jordan  matritsani  bloklarga  ajralishiga  mos  bo’lib, 

X
  matritsa 





 da nol matritsa, 





 da ixtiyoriy to’g’ri yuqori uchburchak  matritsa 
bo’ladi. 
 Misol uchun 
A
 matritsaning elementar bo’luvchilari  

 
 
 

2
2
2
3
1
4
1
,
,
,












 
bo’lganda 
A
X
~
 matritsaning elementlarini yozamiz. 
 
Bu holda 
A
X
~
 matritsa quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi: 
 
z
w
t
r
s
r
v
m
p
m
q
p
m
n
k
n
l
k
n
e
f
e
g
f
e
a
b
a
c
b
a
d
c
b
a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

---

 
140 
a,b,c,d,e,f,g,h,k,l,m,p,q,r,s,t,w,z-ixtiyoriy parametrlar. 
A
X
~
  matritsadagi  parametrlar  soni   



u
N
1
,




  bo’lib, 








p

  va 






q

    ko’phadning eng katta umumiy bo’luvchisining darajasini bildiradi. 
A
 
matritsaning 
   
   
 
1
,
,
,
,
1
2
1









n
t
t
i
i
i
i
i


 
invariant 
ko’phadlarni  qaraymiz.  Bu  ko’phadlarning  darajalarini  mos  ravishda 
0
1
2
1









t
t
n
n
n
n
  lar  orqali  belgilaymiz.  Ma’lumki,  har  bir  invariant 
ko’phad   bir nechta o’zaro tub bo’lgan elementar  bo’luvchilar  ko’paytmasidan 
iborat bo’ladi, u holda 
N
 uchun formulani quyidagicha yozish mumkin: 



t
j
g
gj
N
1
,

                 
 
 
(6.24) 
bu  yerda 
 


g
gj
i

  va 
 

j
i
  ko’phadlar  eng  katta  umumiy  bo’luvchisining 
darajasi 


t
j
g
,
,
2
,
1
,


.  Ammo 
 

g
i
  va 
 

j
i
  ko’phadlarning  eng  katta 
bo’luvchisi  ularning  biri  bo’ladi,  shuning  uchun 


j
g
gj
n
n
,
min


.  Bundan 
quyidagini hosil qilamiz: 


t
n
t
n
n
N
1
2
3
2
1






 
N
  soni 
A
  matritsa  bilan  o’rin  almashinuvch  chiziqli  bog’liq  bo’lmagan 
matritsa soni bo’ladi. Biz quyidagi teoremaga keldik: 
 
Teorema  6.2.
 
n
k
i
ik
a
A
1
,


    matritsa  bilan  o’rin  almashinuvch  bo’lgan, 
chiziqli bog’liqmas matritsalar soni quyidagi fo’rmula bilan aniqlanadi: 


t
n
t
n
n
N
1
2
3
2
1






                 
 
 
(6.25) 
bu  yerda 
t
n
n
n
,
...
,
,
2
1
  -mos  ravishda 
   
 



t
i
i
i
,
,
,
2
1

  o’zgarmas  bo’lmagan, 
A
 
matritsaning invariant ko’phadlari darajalari.  
t
n
n
n
n





2
1
            
 
 
 (6.26) 
(6.25) va (6.26) dan: 
,
n


                
 
 
 
 
(6.27) 
bo’lib,  tenglik  belgisi 
1

t
  da,  ya’ni 
A
  matritsaning  barcha  elementar 
bo’luvchilari juft-jufti bilan o’zaro tub bo’lganda bajariladi.  

---

 
141 
 
 

g
-

    ning  qandaydir  ko’phadi  bo’lsin.  U  holda 
 
A
g
  matritsada 
A
 
matritsa  bilan      o’rin  almashinuvchi  bo’ladi.  Teskari  savol  tug’iladi:Qanday 
holda  ihtiyoriy  matritsa 
A
  matritsa  bilan  o’rin  almashinuvchi  bo’lib, 
A
 
matritsaning  ko’phadi  sifatida  tasvirlanadi.Bu  holda 
1
2
,
,
,
,

t
n
A
A
A
E

  chiziqli 
bog’liqmas  matritsalar  chiziqli  kombinasiyasidan  iborat  bo’lgan  matritsa 
A
 
matritsa bilan o’rin almashinuvchi bo’ladi. 
 
Qaralayotgan holda 
n
n
N
t


 bo’lib, (6.27) ga asosan 
n
n
N
t


 ni hosil 
qilamiz. Shunday qilib, quyidagini hosil qildik. 
 
Natija.
  A  matritsa  bilan  o’rin  almashinuvchi  bo’lgan  barcha  matritsalar 
faqat  va  faqat 
  ya’ni  A  matritsaning  barcha  elementar  bo’luvchilari  juft-
jufti  bilan  o’zaro  tub  bo’lgandagina  ular  A  matritsaning  ko’phadi  sifatida 
tasvirlanadi. 
 
Natija
. 
A
  matritsa bilan  o’rin  almashinuvchi bo’lgan barcha matritsalar 
faqat  va  faqat  shu  holda,  qachonki 
n
n

1
    ya’ni 
A
E


  ning  barcha  elementar 
bo’luvchilari  o’zaro tub bo’lganda bitta va faqat bitta 
С
 matritsaning ko’phadi 
sifatida  tasvirlanadi.  Bu  holda 
A
  matritsa  bilan  o’rin  almashinuvchi  barcha 
matritsalar 
A
 matritsaning ko’phadi sifatida tasvirlanadi. 
 
Teorema 6.3.
 Agar ikki 
A
 va 
B
 matritsalar  o’rin almashinuvchi bo’lib, 
ularning biri, masalan, 
A
 quyidagicha kvazidiogonal ko’rinishga ega bo’lsa, 
),
,
(
2
1
A
A
A

                 
 
 
 (6.28) 
bu  yerda 
1
A
  va
2
A
  umumiy  harakteristik  songa  ega  emas,  u  holda  ikkinchi 
B
 
matritsa ham xuddi shunday kvazidiognal ko’rinishga ega bo’ladi: 
                                                   


2
1
B
B
B

               
 
 
    (6.29) 
Isboti.
 
B
  matritsani  (6.28)  kvazidiognal  ko’rinishga  mos  bloklarga 
ajratamiz: 
,
2
1







B
y
x
B
B
 
2
1
,
B
B
 mos ravishda 
2
1
,
A
A
 bilan  bir  hil  o’lchovli. 
BA
AB

 ekanligidan, quyidagi to’rta matritsali tengliklarni hosil qilamiz: 
n
n

1

---

 
142 
1.
1
1
1
1
A
B
B
A

,     2. 
2
1
xA
x
A

,    3. 
1
1
yA
y
A

,    4. 
2
2
2
2
A
B
B
A

;    (6.30) 
1
A
 va
2
A
 lar umumiy harakteristik songa ega bo’lmaganliklari uchun (6.30) dagi 
2.  va  3.  tenglamlar 
0

x
  va 
0

y
  yechimga  ega.  (6.30)  ning  1.  va  4. 
tengliklaridan 
1
A
va 
1
B
 , 
2
A
va 
2
B
 matritsalar o’zaro o’rin almashinuvchi ekanligi 
kelib chiqadi. 
 
Teorema-6.3´.
  Agar 
2
1
2
1
n
n
n
I
I
R


  bo’lib, 
1
1
n
I
  va 
2
2
n
I
   
A
-operatorga 
nisbatan    invariant  qism  fazolar  bo’lsa  va  bu  qism  fazolar  minimal  ko’phadlar 
o’zaro  tub  bo’lsa,  u  holda  bu 
1
1
n
I
  va 
2
2
n
I
qism  fazolar 
A
-operator  bilan  o’rin 
almashinuvchi  bo’lgan 
B
  ixtiyoriy  chiziqli  operatorga  nisbatan  ham  invariant 
qism fazolar bo’ladi. 
 
Natija  .
  Oddiy  strukturali  o’rin  almashinuvchi  matritsalarni  bir  vaqtda 
bitta o’xshash almashtirish bilan diogonal ko’rinishga keltirish mumkin. 
 
§ 3. 
C
xB
Ax


 tenglama. 
Quyidagi matritsali  tenglama berilgan bo’lsin. 
C
xB
Ax


,              
 
 
 
(6.31) 
bu yerda 
m
k
i
ik
a
A
1
,


 , 
n
l
k
kl
b
B
1
,


 
mos ravishda 
m
 va n  tartibli berilgan kvadrat 
matritsalar, 
k
j
c
C
,

-  berilgan  matritsa, 
n
m
x
X
jk



  o’lchovli  to’g’ri 
to’rtburchakli,  izlanayotgan  matritsa.  (6.31)  tenglama 
X
  matritsaning 
elementlariga nisbatan 
n
m

 ta skalyar tenglamalar sistemasiga ekvivalent: 


.
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1
1
1
n
k
m
i
c
b
x
x
a
m
j
n
l
ik
ek
ie
jk
ij










 
Bunga mos bir jinsli tenglamalar sistemasi 


.
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1
0
1
1
n
k
m
i
b
x
x
a
m
j
n
l
ek
ie
jk
ij










 
bo’lib, matritsalar ko’rinishda quyidagicha yoziladi: 
C
xB
Ax


                
 
 
 
(6.32) 
Shunday  qilib,  agar  (6.32)  tenglama  faqat  nolli    yechimga  ega  bo’lsa,  u 
holda  (6.31)  tenglama  yagona  yechimga  ega.Ammo  §1  da  ko’rsatilganidek, 

---

 
143 
(6.32) tenglama  faqat  va  faqat   
A
  va 
B
matritsalar umumiy  harakteristik songa 
ega  bo’lmaganlardagina  nolli  yechimga  ega  bo’ladi.  Demak,  agar 
A
  va 
B
matritsalar    umumiy  xarakteristik  songa  ega  bo’lmasalar,  u  holda  (6.31) 
tenglama  yagona  echimga  ega  bo’ladi,  agar  A  va  B  matritsalar  umumiy 
harakteristik songa ega bo’lsalar, u holda  ozod had 
C
 matritsaga bog’liq holda 
ikki  hol  bo’ldi:  (6.31)  tenglama  umuman  yechimga  ega  emas,  yoki  quyidagi 
formula bilan aniqlanuvchi cheksiz ko’p  yechimga ega: 
1
0
X
X
X


  ,  bu  yerda 
0
X
-(6.31)    tenglamaning  hususiy  yuchimi, 
1
X
  esa  (6.32)  tenglama  umumiy 
yechimi. 
§4 . 
 
0

x
f
 skalyar tenglama
. 
Avval quyidagi tenglamani qaraymiz: 
 
,
0

X
g
 
bu  yerda 
  
 



















k
k
g

2
1
2
1
  ning  berilgan  ko’phadi, 
X
 
izlanayotgan 

n
tartibli kvdrat matritsa. 
X
  matritsaning  minimal  ko’phadi,  ya’ni  birinchi 
 

1
i
  invariant  ko’phad 
𝑔(𝜆)
  ning  bo’luvchisi  bo’lishi  kerak,u  holda  X  matritsaning  elementar 
bo’luvchilari quyidagi ko’rinishga ega bo’lishi kerak: 

 



,
,
,
,
,
2
,
1
,
,
,
2
1
2
1
2
2
1
2
1
























n
p
p
p
a
p
p
p
h
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
p
i
p
i
i
n
h
i
i
i
p















 

i
i
i
,
,
,
2
1

 indekslar ichida o’zaro tenglari  ham bo’lishi mumkin, 
X
 izlanayotgan 
matritsaning berilgan tartibi. 
Izlanayotgan 
X
matritsa quyidagi ko’rinishda tasvirlanadi: 
                    
 
 
 


1
,
...
,
1
1
1




T
H
E
H
E
T
X
i
i
i
i
p
p
i
p
p
i





   
       
        (6.34) 
bu yerda 


n
T
tartibli ixtiyoriy xosmas matritsa, (6.33) tenglamaning yechimlar 
to’plamidagi  berilgan  tartibli  izlanayotgan  matritsa  (6.34)  formula  bo’yicha 
chekli sondagi o’zaro o’hshash matritsalarga yoyiladi. 
Misol 1. Quyidagi tenglama berilgan bo’lsin. 
0

m
X
               
 
 
 
(6.35) 

---

 
144 
Agar  matritsaning  qandaydir  darajasi  nolga  teng  bo’lsa,  u  holda  matritsa 
nil’potent matritsa deyiladi.Darajasi nolga teng bo’lgan matritsaning eng kichik 
daraja ko’rsatkichi uning nil’potentlik indeksi deyiladi. 
(6.35)  tenglamaning  yechimi    nil’potentlik  indeksi 
m


  bo’lgan  barcha 
nil’potent  matritsalar  bo’lib,  barcha 

n
tartbli  yechimlar  quyidagicha 
ifodalanadi: 
             
 
 
 


,
,
...
,
,
...
,
,
,
...
,
,
2
1
2
1
1
2
1















n
p
p
p
m
p
p
p
T
H
H
H
T
X
p
p
p



   
         (6.36) 
bu yerda 
T
-ixtiyoriy xosmas matritsa. 
Misol 2:  Quyidagi tenglamani qaraymiz: 
X
X

2
          
 
 
     (6.37) 
Bunday  tenglamani  qanoatlantiruvchi  matritasalar  idempotent  matritsalar 
deyiladi.  Idempotent  matritasalarning  elementar  bo’luvchilari 

  yoki 
1


 
bo’ladi.Shuning uchun idempotent matritsalarni 0 yoki 1 xarakteristik sonli oddi 
strukturali  (yani  diogonal  ko’rinishga  keltiriladigan  )  matritsa  sifatida  aniqlash 
mumkin. Berilgan 

n
tartbli barcha idempotent matritsalar quyidagi ko’rinishga 
ega: 


1
0
,
0
,
1
,
,
1
,
1


T
T
x
ta
n

 

 



                  
 
(6.38) 
bu yerda 
T
-ixtiyoriy xosmas matritsa. 
 
Eng quyidagi umumiy tenglamani qaraymiz: 
 
,
0

X
f
                 
 
 
  (6.39) 
bu  yerda 
 



f
argumentli  ko’mpleks  tekslikning  qandaydir 
G
  sohasidagi 
regulyar  funksiya.Izlanayotgan 
n
k
i
ik
x
X
1
,


  yechimdan  uning  xarakteristik 
sonlari  
G
 sohasida yotishini talab qilamiz. 
 

f
  funksiyaning 
G
  sohasida  yotuvchi  barcha  nollari  va  ularning  karralilarini 
yozamiz: 
...
,
,
,
...
,
,
2
1
2
1
a
a


 
Avvalgi holdagi kabi 
X
matritsaning har bir elementar bo’luvchisi  

---

 
145 




i
i
p
i
a
p
i




 
ko’rinishida bo’lishi kerak,shunuing uchun. 
 
 
 
 


1
1
,
,
1
1




T
H
E
H
E
T
X
i
i
i
i
p
p
i
p
p
i






                 
(6.40) 
,
;
,
,
,
,
,
2
,
1
,
,
,
2
1
2
1
2
1
















n
p
p
p
a
p
a
p
a
p
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
h








 
bu yerda 
T
-ixtiyoriy xosmas matritsa.