O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

 
§6. Hosmas matritsadan 
m
-darajali ildiz chiqarish.
 
Quyidagi tenglamani qaraymiz: 
A
X
m

                                 
 
 
(6.54) 
bu  yerda 
A
-berilgan, 
X
-izlanayotgan 
n
-tartibli  matritsalar, 
m
-butun  musbat 
son. 
 
Bu  paragrafda 
0

A
  bo’lgan  xolni  qaraymiz.  Bu  holda  A  matritsaning 
barcha xarakteristik sonlari noldan farqli bo’ladi. 
A
 matritsaning elementa  bo’luvchilarini  
u
p
u
p
p
)
(
,...,
)
(
,
)
(
2
1
2
1









                        
(6.55) 

---

 
149 
lar orqali belgilab, 
A
 matritsani quyidagicha Jordan formasiga keltiramiz: 
1
1
1
1
1
)
,...,
(
~






U
H
E
H
E
U
U
A
U
A
u
u
u


         
 
(6.56) 
 
Izlanayotgan 
X
  matritsaning  xarakteristik  sonlarini 
m
-darajali 
A
 
matritsaning  xarakteristik  soniga  teng  bo’lgani  uchun 
X
  matritsaning 
xarakteristik sonlari ham noldan farqli bo’ladi.  Shuning uchun bu xarakteristik 
sonlarda 
m
f



)
(
  dan  olingan  hosila  nolga  aylanmaydi.Ammo  bu  holda   
X
 
matritsaning  elementar  bo’luvchilari 
X
  matritsani   
m
-darajaga  ko’targanda 
yoyilmaydi.  Bundan  kelib  chiqadiki,   
X
  matritsaning  elementar  bo’luvchilari 
quyidagilar bo’ladi: 
u
p
u
p
p
)
(
,...,
)
(
,
)
(
2
1
2
1









                                     (6.57) 
bu yerda  
j
m
j



 
m
j
j



)
,...,
2
,
1
(
n
j

. 
 
Endi 
m
j
j
j
H
E


  ni  quyidagicha  aniqlaymiz. 

-tekislikda  markazi 
j

nuqtada  bo’lib,  nolni  o’z  ichiga  olmaydigan  doira  olamiz.  Bu  doirada   
m

 
funksiyani 
m
ta  ajralgan  tarmoqlariga  ega  bo’lamiz.  Bu  tarmoqlarini  doira 
markazida  qabul  qiladigan  qiymatlariga  qarab  ajratish  mumkin. 
m

bilan 
j

 
nuqtada  izlanayotgan 
X
  matritsaning 
j

xarakteristik  soni  bilan  ustma-ust 
tushadigan  qiymatni  qabul  qiluvchi  tarmoqni  belgilaymiz  va  shu  tarmoqdan 
kelib  chiqib,  quyidagi  qator  yordamida 
m
j
j
j
H
E


  dan  olingan  funksiyani 
aniqlaymiz: 
...
1
1
1
!
2
1
1
2
2
1
0
1
1
0
1
0






 






j
m
j
m
j
m
m
j
j
j
H
m
m
H
m
E
H
E




           (6.58) 
Qaralayotgan 
m

 funksiyadan 
j

 olingan hosila nolga teng emas, u holda 
(6.58) matritsa faqat bitta 
j
p
j
)
(



 elementar bo’luvchiga ega bo’lib,  
m
j
j



,
)
,...,
2
,
1
(
n
j

. 
Bundan kelib chiqadiki,  


m
u
u
u
m
m
H
E
H
E
H
E






,....,
,
2
2
2
1
1
1
            
kvazidioganal  matritsa  (6.57)  ,  ya’ni  izlanayotgan 
X
  matritsa  elementar 
bo’luvchilariga ega. Shuning uchun shunday T xosmas matritsa mavjudki, unda 

---

 
150 


1
2
2
2
1
1
1
,....,
,





T
H
E
H
E
H
E
T
X
m
u
u
u
m
m



                 
(6.59) 
T  matritsani  aniqlash  uchun 



m
m
)
(
  ayniyatdagi 

  ning  o’rniga 
j
j
j
H
E


 , 
)
,...,
2
,
1
(
n
j

 ni qo’yib,  
j
j
j
m
m
j
j
j
H
E
H
E





)
(
,
)
,...,
2
,
1
(
n
j

 ni hosil qilamiz.  
 
(6.54) va (6.59) dan quyidagi kelib chiqadi: 


1
2
2
2
1
1
1
,....,
,





T
H
E
H
E
H
E
T
A
u
u
u



                     
(6.60) 
 
(6.56) va (6.60)  dan  quyidagini topamiz: 
A
UX
T
~

                                       
 
(6.61) 
bu yerda 
A
X
~
 - 
A
~
 matritsa bilan o’rin almashinuvchi, ixtiyoriy xosmas matritsa (
A
X
~
ning ifodasi  
§
2 da keltirilgan). 
 
(6.61) ni (6.59) ga qo’yib, (6.54) tenglamani barcha yechimlarini o’z 
ichiga oluvchi formulani hosil qilamiz: 


1
1
~
2
2
2
1
1
1
~
,....,
,






U
X
H
E
H
E
H
E
UX
X
A
m
u
u
u
m
m
A



    (6.62) 
 
(6.54) tenglamaning barcha yechimlarini A  matritsaning 
m
 darajali ildizi 
deb, 
m
A
  ko’pqiymatli  simvol  bilan  belgilaymiz. 
m
A
  umumiy  holda  A 
matritsaning  funksiyasi  bo’lmaydi,  ya’ni  A  ning  ko’phadi  ko’rinishida 
tasvirlanmaydi. 
 
Eslatma.
Agar  A  matritsaning  barcha  elementar  bo’luvchilari  juft-jufti 
bilan o’zaro tub, ya’ni 
u



,...,
2
1
  sonlar  har  xil  bo’lsa, 
A
X
~
matritsa  quyidagicha 
kvazidiogonal ko’rinishga ega bo’ladi:  


u
A
X
X
X
X
,...,
,
2
1
~

 
bu  yerda   
j
X
    matritsa 
j
j
j
H
E


matritsa  bilan  o’rin  almashinuvchi,  demak 
j
j
j
H
E


  ning  ixtiyoriy  funksiyasi  bilan, xususiy  holda 
m
j
j
j
H
E


  bilan o’rin 
almashinuvchi bo’ladi 
)
,...,
2
,
1
(
n
j

. Shuning uchun bu holda (6.62) quyidagicha 
bo’ladi: 


1
2
2
2
1
1
1
,....,
,





U
H
E
H
E
H
E
U
X
m
u
u
u
m
m



 

---

 
151 
 
Shunday qilib, agar 
A
 matritsaning elementar bo’luvchilari juft-jufti bilan 
o’zaro tub bo’lsa, 
m
A
X

uchun formulada faqat diskret ko’pqiymatlilik bo’ladi. 
Bu holda ixtiyoriy 
m
A
 qiymatni 
A
 ning ko’phadi sifatida tasvirlash mumkin. 
 
Misol. Quyidagi matritsaning barcha kvadrat ildizlarini toping: 
1
0
0
0
1
0
0
1
1

A
,   
ya’ni 
A
X

2
  tenglamani barcha yechimlarini toping. 
 
Bu  holda 
A
  matritsaning  Jordonnning  normal  formasiga  ega.  Shuning 
uchun  (6.62)  da 
A
A
~

, 
E
U

  deb  olish  mumkin 
A
X
~
    matritsa  quyidagi 
ko’rinishda bo’ladi:  
e
d
a
c
b
a
X
A
0
0
0
~

, 
bu yerda  
e
d
c
b
a
,
,
,
,
 -ixtiyoriy parametrlar. 
 
(6.62) formula quyidagi ko’rinishni oladi: 
 
           
𝑋 = [
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑎 0
0 𝑑 𝑒
]  [
𝜀
𝜀
2
0
0 𝜀 0
0 0 𝜂
]   [
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑎 0
0 𝑑 𝑒
]
−1
,    𝜀
2
= 𝜂
2
= 1 
     (6.63) 
X
  ni  o’zgartirmay,  (6.62)  formulada 
A
X
~
  ni  shunday  skalyarga 
ko’paytirish  mumkinki,  unda 
1
~

A
X
  bo’ladi.  Bu  qaralayotgan  holda   
1
2

e
a
 
tenglikka olib keladi, bundan 
2


a
e
. 
 
𝑋
𝐴̃
−1
  matritsaning  elementlarini  hisoblaymiz.  Buning  uchun 
A
X
~
 
koeffisiyentilaridan tuzilgan matritsani chiziqli almashtirishni yozamiz: 
3
2
1
1
cx
bx
ax
y



, 
2
2
ax
y

, 
3
2
2
3
x
a
dx
y



. 
Bu sistemani 
3
2
1
,
,
X
X
X
 ga nisbatan yechib, quiydagi teskari almashtirishni hosil 
qilamiz: 

---

 
152 
3
2
2
1
1
1
)
(
acy
y
cd
b
a
y
a
x






, 
                                            
2
1
2
y
a
x


, 
                                            
3
2
2
3
y
a
ady
x



. 
 
Bundan , 
2
1
2
1
1
2
1
~
0
0
0
0
0
0
a
ad
a
ac
b
a
cd
a
a
d
a
c
b
a
X
A











 
bo’lib, (6.63) dan 
                




















w
v
vw
da
c
a
acd
X
)
(
0
0
0
)
(
2
)
(
)
(
0
0
0
)
(
2
)
(
1
2











,       (6.64) 
d
a
w
c
a
v
1
2
,



  
Demak, 
X
 yechim ikkita 
v
 va 
w
 ixtiyoriy parametrlar va ikkita 

 va 

 ixtiyoriy 
belgilarga bog’liq.