O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§1. 
XB
AX

  tenglama 
 
Bizga quyidagi matritsali tenglama berilgan bo’lsin:  
XB
AX

                                                
 (6.1) 
bu yerda   
n
l
k
kl
m
j
i
ij
b
B
a
A
1
,
1
,
,




, 
jk
x
X

, 
)
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
(
n
k
m
j


 
 
A
    va 
B
  matritsalarning    kompleks  sonlar  maydonidagi  elementar 
bo’luvchilarini yozib chiqamiz: 

 


 

m
p
p
p
A
u
p
u
p
p
u







...
,
,...,
,
:
)
(
2
1
2
1
2
1






 

 


 

n
q
q
q
B
u
q
v
q
q
v







...
,
,...,
,
:
)
(
2
1
2
1
2
1






 
 
Bu  elementlar  bo’luvchilarga  mos  holda 
A
    va 
B
  matritsalarni 
quyidagicha Jordanning normal ko’rinishiga keltiramiz: 
1
~


U
A
U
A
,  
1
~


V
B
V
B
                                                            (6.2) 
bu yerda 
U
  va 
V
 lar mos ravishda 
m
 va 
n
 tartibli, xosmas kvadrat matritsalar, 
A
~
  va 
B
~
  quyidagicha Jordan ko’rinishidagi matritsalar: 


)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
1
,...,
,
2
2
1
1
u
u
p
p
u
p
p
p
p
H
E
H
E
H
E
A







, 


)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
1
,...,
,
2
2
1
1
v
v
q
q
u
q
q
q
q
H
E
H
E
H
E
B







.                 (6.3) 
(6.2) ni (6.1) ga qo’yib, 
1
1
~
~



V
B
XV
X
U
A
U
 
ni hosil qilamiz. Bu tenglikni chapdan 
1

U
 ga o’ngdan 
V
 ga ko’paytirib,  
XVB
U
XV
AU
1
1



                                             (6.4) 
tenglikni hosil qilamiz. Izlanayotgan 
X
 matritsa o’rniga  
XV
U
X
1
~


                                                          (6.5) 
matritsani kiritib, (6.4) ni quyidagicha yozamiz: 
B
X
X
A
~
~
~
~

                                                              (6.6) 
 
 

---

 
135 
Biz (6.1) matritsali tenglamani xuddi shunday ko’rinishdagi (6.6) tenglama bilan 
almashtirdik,  ammo  (6.6)  dagi  berilgan  matritsalar  Jordanning  normal 
ko’rinishiga ega. 
 
 
X
~
 matritsani bloklarga ajratamiz: 
 


v
u
X
X
,
,
3
,
2
,
1
;
,
,
3
,
2
,
1
~








 
bu yerda 



xq
p
X

 o’lchovli to’g’ri to’rtburchakli matritsa. 
Blok  matritsani  kvazidiogonal  matritsaga  ko’paytirish  qoidasidan 
foydalanib,  (6.6)  tenglamaning  chap  va  o’ng  tomonlarida  ko’paytirish  amalini 
bajaramiz. Natijada bu tenglama 
v
u

  ta matrissali tenglamalarga ajraladi: 
 
 


 
 


.
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1
,
v
u
H
E
X
X
H
E
q
q
p
p



















 
Bularni quyidagicha yozamiz: 




v
u
G
X
X
H
X
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1


















           (6.7) 
bu yerda  
 
 


v
u
H
G
H
H
q
p
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1
,
,












                  (6.8) 
(6.7) tenglamalardan birini olib qaraymiz. Bunda 2 xol bo’lishi mumkin. 
 
1. 





.  (6.7)  ning  ikkala  tomonini 





    ga  ko’paytirib,o’ng 
tomonidagi  har  bir  hadda 





X
)
(

 
ko’paytuvchini 




G
X
X
H

  bilan 
almashtiramiz.Bu  jarayonni 
1

r
  marta  takrorlab,  quyidagi  tenglamani  hosil 
qilamiz: 
 






r
r
G
X
H
X













1
)
(
                  
(6.9) 
(6.8) ga asosan  
0






q
p
G
H
                       
 
 
(6.10) 
Agar (6.9) da 
1



p
q
p
r

 deb olsak, u holda (6.9) ning o’ng tomonidagi 
yig’indining  har  bir  hadida  



q
r
p


,
 

---

 
136 
munosabatlarning    hech  bo’lmaganda  bittasi  bajarilib,  (6.10)  ga  asosan 
0



H
 
yoki 
0



G
 bo’ladi. Bundan  





 bo’lgani uchun quyidagini topamiz: 
0


X
             
 
 
 
 
 (6.11)     
 
 
2. 





. Bu holda (6.7) dan quyidagi hosil bo’ladi: 




G
X
X
H

                
 
 
 (6.12)
 
 

H
  va 

G
  matritsalarning  diogonal  ostidagi  birinchi  elementlari  birga 
teng  bo’lib,  qolgan  barcha  elementlari  nollardan  iborat. 

H
va 

G
  matritsalar 
strukturasining bu spetsifikasini hisobga olib, 






q
k
p
i
X
ik
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1





 
deb olib, (6.12) matritsali tenglamani unga ekvivalent bo’lgan quyidagi skalyar 
munosabatlar sistemasi bilan almashtiramiz: 









q
k
p
i
p
i
k
i
k
i
,
,
2
,
1
;
,
,
2
,
1
;
0
0
1
,
,
1









             (6.13) 
(6.13) tengliklar quyidagini bildiradi.  
1)

X
matritsaning diogonaliga paralel bo’lgan chiziqqa o’zaro teng 
elementlar yotadi.  
2) 
0
1
2
1
31
21

















q
p
p
p


    


q
p

    bo’lsin . Bu holda     

X
   kvadrat  matritsa bo’lib u   1) va  2)  
shartga ko’ra quyidagicha bo’ladi : 
                   











p
p
T
c
c
c
c
c
c
X



0
...
0
...
...
...
.
...
...
...
.
...
0
...
'
1
'
    
          
 
  (6.14)
 
bu yerda 

c
 , 

c

 , ... , 
 


p
c
  -ixtiyoriy parametrlar . 


q
p

   da  
















p
p
q
X
,
0
                  
 
 
 
(6.15)
 
bo’lib , 


q
p

     da  esa, 

---

 
137 
                                










ta
q
p
X
p




0
                   
                         (6.16) 
(6.14),  (6.15)  va  (6.16)
 
matritsalar    to’g’ri  yuqori  uchburchak  fo’rmaga 
ega  deyiladi.

X
dagi ixtiyoriy  parametrlar soni 
a
p
va 

q
  sonlarning kichigiga 
teng.  Quyida  keltirilgan  sxema 

X
  matritsani 





dagi    strukturasini 
ko’rsatadi, (bu yerda ixtiyoriy parametrlar a,b,c,d orqali belgilangan) : 
a
b
a
c
b
a
d
c
b
a
X
0
0
0
0
0
0


,    


4




q
p
,  
 
a
b
c
a
b
a
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0


’   


5
,
3




q
p
, 
                                  
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a
b
a
c
b
a
X


,          


3
,
5




q
p
. 
X
~
  matritsadagi  ixtiyoriy  parametrlar  sonini  aniqlash  uchun 
 


d
  bilan 





p
0

    va 





q

  elementar  bo’luvchilarning  eng  katta  bo’luvchisini, 


  
bilan  esa 
 


d
  ko’phadning  darajasini  belgilaymiz. 





  holda 
0



, 





 xolda esa,  






q
p
,
min

 bo’ladi. Shunday qilib, xar ikkala xolda ham 

X
  dagi  ixtiyoriy  parametrlar  soni 


  ga  teng  bo’lib, 
X
~
  dagi  ixtiyoriy 
parametrlar soni quyidagi formula bilan aniqlanadi: 




u
v
N
1
1




 
 
Bu olingan natijalarni quyidagi teorema ko’rinishida ifodalash mumkin: